Прямоугольный треугольник с катетами 9 см и 12 см вписан в окружность. Найдите ее радиус.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине гипотенузы. Гипотенуза в данном случае равна 15 см (по теореме Пифагора), поэтому радиус окружности равен 7.5 см.

Для решения задачи сначала следует воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы прямоугольного треугольника. Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Обозначим катеты треугольника как (a = 9 ) см и (b = 12 ) см. Тогда гипотенуза (c) вычисляется следующим образом:

[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ см} ]

Теперь, когда мы знаем длину гипотенузы, нужно найти радиус описанной окружности. В любом треугольнике радиус описанной окружности ( R ) можно найти, используя формулу:

[ R = \frac{abc}{4K} ]

где ( a ), ( b ) и ( c ) – стороны треугольника, а ( K ) – его площадь.

Однако, для прямоугольного треугольника существует более простая формула: радиус описанной окружности равен половине гипотенузы. Это следует из того, что центр описанной окружности находится на середине гипотенузы в прямоугольном треугольнике.

Таким образом, радиус ( R ) окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен:

[ R = \frac{c}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \text{ см} ]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами 9 см и 12 см, равен 7.5 см.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойством вписанного прямоугольного треугольника, которое гласит, что гипотенуза является диаметром окружности, в которую он вписан.

Из условия задачи известно, что катеты треугольника равны 9 см и 12 см. Следовательно, гипотенуза равна 15 см (по теореме Пифагора).

Так как гипотенуза является диаметром окружности, то радиус окружности равен половине диаметра. Следовательно, радиус окружности равен 15 см / 2 = 7.5 см.

Таким образом, радиус окружности, в которую вписан прямоугольный треугольник с катетами 9 см и 12 см, равен 7.5 см.