Прямоугольный треугольник с катетом 3 см и противолежащим ему углом 30 градусов вращается вокруг данного...

Для того чтобы найти полную поверхность тела вращения прямоугольного треугольника, нужно рассмотреть два случая: когда треугольник вращается вокруг катета, и когда он вращается вокруг гипотенузы.

1. Вращение вокруг катета: Полная поверхность тела вращения будет состоять из трех частей: боковой поверхности, основания и верхушки. Боковая поверхность будет иметь форму трапеции, основание - круга, а верхушка - полукруга.

Площадь боковой поверхности можно найти по формуле: S = 2 π r * h, где r - радиус окружности (равный длине катета), h - высота трапеции (равная гипотенузе треугольника).

Площадь основания будет равна площади круга, то есть S = π * r^2.

Площадь верхушки - полукруга - будет равна S = 0.5 π r^2.

Суммируя все три площади, получим полную поверхность тела вращения.

1. Вращение вокруг гипотенузы: В этом случае полная поверхность тела вращения будет состоять из двух частей: боковой поверхности (цилиндр) и двух оснований (кругов). Площадь боковой поверхности цилиндра можно найти по формуле: S = 2 π r * h, где r - радиус окружности (равный длине гипотенузы), h - высота цилиндра (равная длине катета).

Площадь каждого из оснований будет равна площади круга, то есть S = π * r^2.

Суммируя площади боковой поверхности и двух оснований, получим полную поверхность тела вращения.

Итак, в зависимости от того, вокруг какой стороны прямоугольного треугольника происходит вращение, можно найти полную поверхность тела вращения.

Полная поверхность тела вращения прямоугольного треугольника будет равна 18π см^2.

Когда прямоугольный треугольник вращается вокруг одного из своих катетов, он образует тело вращения, называемое конусом. В данном случае треугольник вращается вокруг катета длиной 3 см, и угол в 30 градусов противолежит этому катету.

Чтобы найти полную поверхность тела вращения, необходимо определить радиус основания, высоту и длину образующей конуса.

1. Определение радиуса основания конуса:

   • Противолежащий угол 30 градусов и катет 3 см указывают на то, что это катет, противолежащий углу 30 градусов в прямоугольном треугольнике.
   • В прямоугольном треугольнике с углом 30 градусов соотношение между катетом, противолежащим этому углу, и гипотенузой составляет 1:2. Поэтому гипотенуза равна (3 \times 2 = 6) см.
   • Другой катет, который является радиусом основания конуса, можно найти через соотношение: катет, прилежащий к углу 30 градусов, равен половине гипотенузы, то есть (6 \times \sin(30^\circ) = 3) см.

2. Высота конуса:

   • Высота конуса совпадает с катетом, вокруг которого происходит вращение, то есть 3 см.

3. Образующая конуса:

   • Образующая конуса совпадает с гипотенузой треугольника, то есть 6 см.

4. Полная поверхность конуса:

   • Полная поверхность конуса состоит из площади основания и площади боковой поверхности.

   • Площадь основания (S{\text{осн}}) равна площади круга с радиусом 3 см: [ S{\text{осн}} = \pi \times r^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi \, \text{см}^2 ]

   • Площадь боковой поверхности (S{\text{бок}}) равна: [ S{\text{бок}} = \pi \times r \times L = \pi \times 3 \times 6 = 18\pi \, \text{см}^2 ]

5. Полная поверхность конуса:

   • Суммируем площадь основания и боковой поверхности: [ S{\text{полная}} = S{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 9\pi + 18\pi = 27\pi \, \text{см}^2 ]

Таким образом, полная поверхность тела вращения равна (27\pi \, \text{см}^2).