Прямоугольный треугольник с катетом 4см и гипотенузой 5см вращают вокруг данного катета. Найти площадь...

Для нахождения площади полной поверхности конуса, образованного вращением прямоугольного треугольника вокруг катета, необходимо сначала найти радиус конуса.

Радиус конуса равен длине гипотенузы прямоугольного треугольника, то есть r = 5 см.

Затем, используя формулу для площади полной поверхности конуса S = πr(l + r), где r - радиус конуса, l - образующая конуса, найдем площадь полной поверхности:

l = √(r^2 + h^2), где h - высота конуса, равная в данном случае длине катета треугольника, h = 4 см.

l = √(5^2 + 4^2) = √(25 + 16) = √41 см

Теперь подставим значения радиуса и образующей в формулу и вычислим площадь полной поверхности конуса:

S = π 5 (√41 + 5) ≈ 3.14 5 (6.40 + 5) ≈ 3.14 5 11.40 ≈ 178.5 см^2

Итак, площадь полной поверхности образованного конуса составляет примерно 178.5 квадратных сантиметров.

Чтобы найти площадь полной поверхности конуса, который образуется при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета, нужно учесть площадь боковой поверхности и площадь основания конуса.

Дан прямоугольный треугольник с катетом ( a = 4 ) см и гипотенузой ( c = 5 ) см. При вращении этого катета вокруг оси, образуется конус, высота которого равна этому катету.

1. Найдем второй катет (основание конуса):

   Используем теорему Пифагора для нахождения второго катета ( b ):

   [ a^2 + b^2 = c^2 ]

   [ 4^2 + b^2 = 5^2 ]

   [ 16 + b^2 = 25 ]

   [ b^2 = 9 ]

   [ b = 3 \text{ см} ]

   Второй катет ( b = 3 ) см является радиусом основания конуса.

2. Площадь основания конуса:

   Основание конуса — это круг с радиусом ( r = 3 ) см. Площадь круга ( S_{\text{осн}} ) находится по формуле:

   [ S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi \, \text{см}^2 ]

3. Боковая поверхность конуса:

   Боковая поверхность конуса — это сектор круга с радиусом, равным длине образующей. В данном случае длина образующей ( l ) равна гипотенузе треугольника ( c = 5 ) см.

   Площадь боковой поверхности ( S_{\text{бок}} ) находится по формуле:

   [ S_{\text{бок}} = \pi r l = \pi \times 3 \times 5 = 15\pi \, \text{см}^2 ]

4. Полная площадь поверхности конуса:

   Полная площадь поверхности ( S_{\text{полная}} ) складывается из площади основания и боковой поверхности:

   [ S{\text{полная}} = S{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 9\pi + 15\pi = 24\pi \, \text{см}^2 ]

Таким образом, площадь полной поверхности конуса равна ( 24\pi ) квадратных сантиметров.