Прямоугольный треугольник с катетом 8 см и прилежащим к нему углом 30 градусов вращается вокруг прямой,содержащей...

Площадь поверхности полученного тела можно найти по формуле S = 2πrh, где r - радиус окружности, образованной вращением катета вокруг прямой, содержащей гипотенузу, h - высота треугольника (гипотенуза). Радиус окружности r = 8 см, так как это длина катета. Высота треугольника h = 8 см sin(30°) = 4 см. Подставляем значения в формулу: S = 2 π 8 4 = 64π см². Ответ: площадь поверхности полученного тела равна 64π см².

Для решения задачи, нужно сначала определить, какое тело будет получено при вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей гипотенузу. В данном случае, при таком вращении, получается поверхность конуса с вырезанным сегментом, образованным вращением катетов вокруг гипотенузы.

1. Найдем гипотенузу треугольника:

   Согласно теореме косинусов для прямоугольного треугольника или используя простую тригонометрию, можем воспользоваться следующими соотношениями:

   [ \cos(30^\circ) = \frac{8}{\text{гипотенуза}} ]

   [ \text{гипотенуза} = \frac{8}{\cos(30^\circ)} = \frac{8}{\sqrt{3}/2} = \frac{8 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3} \approx 9.24 \text{ см} ]

2. Найдем второй катет:

   [ \tan(30^\circ) = \frac{\text{второй катет}}{8} ]

   [ \text{второй катет} = 8 \cdot \tan(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \approx 4.62 \text{ см} ]

3. Найдем радиус основания конуса:

   Радиус основания конуса будет равен второму катету:

   [ R = \frac{8\sqrt{3}}{3} \approx 4.62 \text{ см} ]

4. Найдем высоту конуса:

   Высота конуса будет равна катету, который равен 8 см.

5. Найдем образующую конуса:

   Образующая ( l ) конуса равна гипотенузе треугольника:

   [ l = \frac{16\sqrt{3}}{3} \approx 9.24 \text{ см} ]

6. Найдем площадь боковой поверхности конуса:

   Площадь боковой поверхности конуса ( S_{\text{бок}} ) рассчитывается по формуле:

   [ S_{\text{бок}} = \pi R l = \pi \cdot \frac{8\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{16\sqrt{3}}{3} = \pi \cdot \frac{8 \cdot 16 \cdot 3}{9} = \pi \cdot \frac{384}{9} = \pi \cdot \frac{128}{3} \approx 134.04 \text{ см}^2 ]

7. Найдем площадь основания конуса:

   [ S_{\text{осн}} = \pi R^2 = \pi \left( \frac{8\sqrt{3}}{3} \right)^2 = \pi \cdot \frac{64 \cdot 3}{9} = \pi \cdot \frac{192}{9} = \pi \cdot \frac{64}{3} \approx 67.02 \text{ см}^2 ]

8. Найдем площадь поверхности полученного тела:

   Поскольку при вращении прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы образуется только одна поверхность (боковая), то площадь поверхности полученного тела будет равна площади боковой поверхности конуса.

   [ S{\text{поверхности}} = S{\text{бок}} \approx 134.04 \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь поверхности полученного тела составляет приблизительно ( 134.04 \text{ см}^2 ).

Для решения данной задачи нам нужно найти боковую поверхность тела вращения, которая представляет собой полосу шириной величиной равной периметру прямоугольного треугольника.

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме длин катетов и гипотенузы: Периметр = 8 + 8 + 16 = 32 см

Таким образом, ширина полосы равна 32 см. Теперь нужно найти длину полосы, которая равна окружности с радиусом, равным длине гипотенузы прямоугольного треугольника.

Длина гипотенузы находится по формуле прямоугольного треугольника: гипотенуза = √(катет^2 + катет^2) = √(8^2 + 8^2) = √(64 + 64) = √128 = 8√2 см

Теперь найдем длину полосы: Длина = 2π * 8√2 = 16π√2 см

Итак, площадь поверхности полученного тела вращения равна произведению длины полосы на ширину: Площадь = 16π√2 * 32 = 512π√2 см^2

Ответ: 512π√2 квадратных сантиметров.