Прямые AB, АС и АD попарно перпендикулярны. Найти длину отрезка BC, если AD= a, DC=b, DB=с.

Для нахождения длины отрезка BC воспользуемся теоремой Пифагора. В данном случае треугольник BCD является прямоугольным, где:

• AD = a (вертикально)
• DC = b (горизонтально)
• DB = c (гипотенуза)

Сначала найдем длину отрезка BD:

[ BD = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{a^2 + b^2} ]

Теперь отрезок BC можно найти как:

[ BC = DB - DC = c - b ]

Таким образом, длина отрезка BC равна ( c - b ).

Давайте разберем эту задачу. Прямые ( AB ), ( AC ) и ( AD ) попарно перпендикулярны, что говорит нам о том, что они образуют трехмерную прямоугольную систему координат. Другими словами, точки ( A ), ( B ), ( C ) и ( D ) находятся в пространстве, и ( A ) является их общей точкой (началом координат). Прямые ( AB ), ( AC ), и ( AD ) ориентированы как оси ( x ), ( y ), и ( z ) соответственно.

Теперь запишем координаты всех точек:

1. Точка ( A ) — начало отсчета, ( A(0, 0, 0) ).
2. ( D ) лежит на прямой ( AD ), поэтому ( D(0, 0, a) ), где ( a = AD ).
3. ( C ) лежит на прямой ( AC ), поэтому ( C(0, b, 0) ), где ( b = DC ).
4. ( B ) лежит на прямой ( AB ), поэтому ( B(c, 0, 0) ), где ( c = DB ).

Теперь нам нужно найти длину отрезка ( BC ).

Длина отрезка между двумя точками в пространстве рассчитывается по формуле: [ BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 + (z_C - z_B)^2}, ] где координаты точек ( B(c, 0, 0) ) и ( C(0, b, 0) ).

Подставляем координаты точек: [ BC = \sqrt{(0 - c)^2 + (b - 0)^2 + (0 - 0)^2}. ]

Упрощаем выражение: [ BC = \sqrt{(-c)^2 + b^2 + 0^2}. ]

Так как квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного числа, то: [ BC = \sqrt{c^2 + b^2}. ]

Таким образом, длина отрезка ( BC ): [ BC = \sqrt{b^2 + c^2}. ]

Ответ:

Длина отрезка ( BC ) равна ( \sqrt{b^2 + c^2} ).

Для решения задачи начнем с визуализации данной ситуации. У нас есть точка A, от которой отходят три прямые: AB, AC и AD. Эти прямые попарно перпендикулярны, что позволяет нам использовать прямоугольную систему координат для более удобного анализа.

Рассмотрим точку A как начало координат (0, 0, 0). Тогда, в зависимости от обозначений, можно установить координаты остальных точек:

• Пусть точка D лежит на оси X. Если AD = a, то D будет находиться в точке (a, 0, 0).
• Точка C, которая перпендикулярна отрезку AD и находится на оси Y, так как AC перпендикулярна AD, будет находиться на некотором расстоянии b от A. Таким образом, координаты C могут быть (0, b, 0).
• Точка B, перпендикулярная как к AC, так и к AD, будет находиться на оси Z и находится на расстоянии c от A. Тогда B будет в точке (0, 0, c).

Теперь нам необходимо найти длину отрезка BC. Для этого найдем координаты точек B и C:

• Координаты точки B: (0, 0, c)
• Координаты точки C: (0, b, 0)

Длина отрезка BC может быть найдена с помощью формулы расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

[ BC = \sqrt{(x_B - x_C)^2 + (y_B - y_C)^2 + (z_B - z_C)^2} ]

Подставляя координаты точек B и C:

[ BC = \sqrt{(0 - 0)^2 + (0 - b)^2 + (c - 0)^2} ]

Упрощаем выражение:

[ BC = \sqrt{0 + b^2 + c^2} = \sqrt{b^2 + c^2} ]

Таким образом, длина отрезка BC равна (\sqrt{b^2 + c^2}).

В итоге, ответ на задачу:

Длина отрезка BC равна (\sqrt{b^2 + c^2}).