Правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 18 см, пересечена плоскостью, паралельной...

Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду, у которой все ребра равны 18 см. Пусть ( S ) — вершина пирамиды, а ( ABCD ) — квадрат в основании пирамиды. Плоскость, параллельная основанию и проходящая через середину одного из боковых ребер, задает усеченную пирамиду.

Высота исходной пирамиды

Для начала найдем высоту исходной пирамиды. Обозначим высоту пирамиды через ( h ). Так как все боковые ребра равны, треугольник ( SAB ) является равнобедренным треугольником с боковыми сторонами равными 18 см. Половина диагонали основания ( AB ) равна ( \frac{a\sqrt{2}}{2} ), где ( a ) — сторона квадрата основания.

Сторона квадрата основания равна ( a = 18 ) см, потому что все ребра пирамиды равны.

Диагональ квадрата: [ d = a\sqrt{2} = 18\sqrt{2} \text{ см}. ]

Половина диагонали: [ \frac{d}{2} = 9\sqrt{2} \text{ см}. ]

В треугольнике ( SAB ) боковые стороны равны 18 см, а основание равно ( 18 \text{ см} ). Опустим высоту из вершины ( S ) на сторону ( AB ). Эта высота делит ( AB ) пополам, так что получаем два прямоугольных треугольника с гипотенузой 18 см и одним катетом ( 9\sqrt{2} ) см.

Применим теорему Пифагора для одного из этих треугольников: [ 18^2 = \left(9\sqrt{2}\right)^2 + h^2, ] [ 324 = 81 \cdot 2 + h^2, ] [ 324 = 162 + h^2, ] [ h^2 = 324 - 162, ] [ h^2 = 162, ] [ h = \sqrt{162} = 9\sqrt{2} \text{ см}. ]

Высота и апофема усеченной пирамиды

Теперь рассмотрим плоскость, параллельную основанию, проходящую через середину бокового ребра. Середина бокового ребра делит его пополам, поэтому половина бокового ребра равна ( \frac{18}{2} = 9 \text{ см} ).

Так как плоскость пересекает пирамиду через середину бокового ребра, то высота усеченной пирамиды будет равна половине высоты исходной пирамиды, то есть: [ h_{\text{усеченной}} = \frac{h}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2} \text{ см}. ]

Теперь найдем апофему усеченной пирамиды. Апофема — это высота боковой грани, опущенная на сторону основания. В нашем случае это равнобедренный треугольник с основанием, равным стороне квадрата основания усеченной пирамиды.

Так как плоскость пересекает пирамиду на середине ребра, стороны основания усеченной пирамиды будут равны половине сторон основания исходной пирамиды: [ a_{\text{усеченной}} = \frac{a}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ см}. ]

Теперь рассмотрим треугольник, образованный апофемой, высотой усеченной пирамиды и половиной стороны основания усеченной пирамиды. Половина стороны основания усеченной пирамиды равна: [ \frac{9}{2} = 4.5 \text{ см}. ]

Используем теорему Пифагора для нахождения апофемы ( l ): [ l^2 = \left(\frac{9}{2}\right)^2 + \left(\frac{9\sqrt{2}}{2}\right)^2, ] [ l^2 = 4.5^2 + \left(4.5\sqrt{2}\right)^2, ] [ l^2 = 20.25 + 20.25 \cdot 2, ] [ l^2 = 20.25 + 40.5, ] [ l^2 = 60.75, ] [ l = \sqrt{60.75} \approx 7.8 \text{ см}. ]

Ответ

Высота усеченной пирамиды: ( \frac{9\sqrt{2}}{2} \approx 6.36 \text{ см} ).

Апофема усеченной пирамиды: ( \sqrt{60.75} \approx 7.8 \text{ см} ).

Высота усеченной пирамиды равна 9 см, а апофема равна 15 см.

Для решения данной задачи нам необходимо разделить пирамиду на две части: верхнюю пирамиду и усеченную нижнюю пирамиду.

Высота исходной пирамиды равна расстоянию от вершины до основания, которое составляет 18 см.

Поскольку плоскость проходит через середину бокового ребра, она делит высоту исходной пирамиды на две равные части. Таким образом, высота усеченной пирамиды будет равна 9 см.

Апофема усеченной пирамиды определяется как расстояние от вершины до центра основания. Так как плоскость параллельна основанию, то вершина усеченной пирамиды совпадает с вершиной исходной пирамиды. Апофема усеченной пирамиды равна расстоянию от центра основания до середины бокового ребра и равна половине длины бокового ребра, то есть 9 см.