При каких значениях х и у векторы (х,-2,5) и (1,у,-4) коллинеарные

Для того чтобы векторы (х,-2,5) и (1,y,-4) были коллинеарными, необходимо, чтобы они были параллельными. Это возможно, когда их координаты пропорциональны. Следовательно, значения х и у должны быть пропорциональны коэффициенту пропорциональности.

Векторы ((x, -2, 5)) и ((1, y, -4)) коллинеарны, если один из них является скалярным произведением другого. Это означает, что существует такое число (\lambda), что выполняется равенство:

[ (x, -2, 5) = \lambda (1, y, -4). ]

Это условие можно разложить на систему уравнений:

1. (x = \lambda \cdot 1 = \lambda),
2. (-2 = \lambda \cdot y),
3. (5 = \lambda \cdot (-4) = -4\lambda).

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности:

1. Из первого уравнения мы получаем, что (\lambda = x).

2. Подставим (\lambda = x) во второе уравнение: [ -2 = x \cdot y \quad \Rightarrow \quad y = \frac{-2}{x}. ]

3. Подставим (\lambda = x) в третье уравнение: [ 5 = -4x \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{5}{4}. ]

Теперь найдем (y), подставив (x = -\frac{5}{4}) в уравнение (y = \frac{-2}{x}): [ y = \frac{-2}{-\frac{5}{4}} = \frac{-2 \cdot 4}{-5} = \frac{8}{5}. ]

Таким образом, векторы ((x, -2, 5)) и ((1, y, -4)) будут коллинеарны при (x = -\frac{5}{4}) и (y = \frac{8}{5}).

Два вектора коллинеарные, если они параллельны и направлены в одном направлении или в противоположных направлениях.

Для того чтобы определить, при каких значениях х и у векторы (х, -2, 5) и (1, у, -4) коллинеарные, необходимо учесть, что коллинеарные векторы могут быть представлены как кратные друг другу. То есть, если вектор (x, -2, 5) равен k раз вектору (1, y, -4), то они коллинеарные.

Следовательно, уравнения для коллинеарности векторов можно записать следующим образом: x = k, -2 = ky, 5 = -4k.

Из первого уравнения получаем, что x = k. Подставляем это значение во второе уравнение: -2 = k y. Отсюда y = -2 / k. Подставляем значения x и y в третье уравнение: 5 = -4 x. Получаем 5 = -4k.

Таким образом, для того чтобы векторы (х, -2, 5) и (1, у, -4) были коллинеарными, необходимо найти такие значения х и у, при которых выполняются уравнения x = k, y = -2 / k и 5 = -4k.