При каких значении числа х векторы m=3a+(x-2)b u n=2a+(5x+1)b коллинеарны , если а и b неколлинеарны? -3/13 6/13 -7/13 15/13
При каких значении числа х векторы m=3a+(x-2)b u n=2a+(5x+1)b коллинеарны , если а и b неколлинеарны? -3/13 6/13 -7/13 15/13
Чтобы определить, при каких значениях ( x ) векторы (\mathbf{m} = 3\mathbf{a} + (x-2)\mathbf{b}) и (\mathbf{n} = 2\mathbf{a} + (5x+1)\mathbf{b}) коллинеарны, нужно, чтобы один вектор был пропорционален другому. Это означает, что должно существовать такое число (\lambda), что:
[ \mathbf{m} = \lambda \mathbf{n}. ]
Распишем это равенство по компонентам:
[ 3\mathbf{a} + (x-2)\mathbf{b} = \lambda (2\mathbf{a} + (5x+1)\mathbf{b}). ]
Это приводит к двум уравнениям, так как векторы (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) неколлинеарны и, следовательно, их коэффициенты должны быть равны:
Решим первое уравнение для (\lambda):
[ 3 = 2\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{3}{2}. ]
Теперь подставим (\lambda = \frac{3}{2}) во второе уравнение:
[ x - 2 = \frac{3}{2}(5x + 1). ]
Раскроем скобки:
[ x - 2 = \frac{15}{2}x + \frac{3}{2}. ]
Умножим всё уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:
[ 2x - 4 = 15x + 3. ]
Перенесём все члены, содержащие (x), в левую часть, а остальные – в правую:
[ 2x - 15x = 3 + 4. ]
[ -13x = 7. ]
Решим это уравнение для (x):
[ x = -\frac{7}{13}. ]
Таким образом, при (x = -\frac{7}{13}) векторы (\mathbf{m}) и (\mathbf{n}) коллинеарны. Правильный ответ: (-\frac{7}{13}).
Для того чтобы векторы m и n были коллинеарными, необходимо и достаточно, чтобы они были параллельными. Векторы параллельны, если они коллинеарны, т.е. один равен другому умноженному на некоторое число.
m = 3a + (x-2)b n = 2a + (5x+1)b
Для того чтобы векторы были коллинеарными, необходимо, чтобы их компоненты были пропорциональны: 3 = 2k x-2 = (5x+1)k
Из первого уравнения находим k = 3/2. Подставляем это значение во второе уравнение: x-2 = (5x+1) * 3/2 x-2 = 15x/2 + 3/2 2x - 4 = 15x + 3 -13x = 7 x = -7/13
Таким образом, при значении x = -7/13 векторы m и n будут коллинеарными.
