При каком значении p окружность, заданная уравнением x^2 + y^2 = 64 и график функции y = x^2 + p имеют три общие точки?
При каком значении p окружность, заданная уравнением x^2 + y^2 = 64 и график функции y = x^2 + p имеют три общие точки?
При p = 0.
Чтобы найти значение параметра ( p ), при котором окружность, заданная уравнением ( x^2 + y^2 = 64 ), и парабола, заданная уравнением ( y = x^2 + p ), имеют три общие точки, необходимо рассмотреть систему уравнений:
Подставим выражение для ( y ) из второго уравнения в первое:
[ x^2 + (x^2 + p)^2 = 64. ]
Раскроем скобки и упростим выражение:
[ x^2 + (x^4 + 2px^2 + p^2) = 64. ]
Получаем:
[ x^4 + 3x^2 + 2px^2 + p^2 = 64. ]
Перепишем уравнение:
[ x^4 + (3 + 2p)x^2 + p^2 - 64 = 0. ]
Это уравнение является биквадратным относительно ( x ). Для того чтобы окружность и парабола имели три общие точки, это уравнение должно иметь одно из своих решений кратностью два, а остальные — кратностью один.
Рассмотрим уравнение ( x^4 + (3 + 2p)x^2 + p^2 - 64 = 0 ) как квадратное относительно переменной ( z = x^2 ):
[ z^2 + (3 + 2p)z + (p^2 - 64) = 0. ]
Для того чтобы уравнение имело одно решение кратности два, его дискриминант должен быть равен нулю:
[ (3 + 2p)^2 - 4(p^2 - 64) = 0. ]
Рассчитаем дискриминант:
[ 9 + 12p + 4p^2 - 4p^2 + 256 = 0. ]
Упростим:
[ 12p + 265 = 0. ]
Решим относительно ( p ):
[ 12p = -265 \quad \Rightarrow \quad p = -\frac{265}{12}. ]
Таким образом, окружность и парабола имеют три общие точки, когда ( p = -\frac{265}{12} ). Это значение параметра ( p ) соответствует случаю, когда одна из точек пересечения является касательной, а две другие — точки пересечения окружности и параболы.
Для того чтобы узнать, при каком значении p окружность x^2 + y^2 = 64 и график функции y = x^2 + p имеют три общие точки, необходимо найти точки пересечения этих двух фигур.
Сначала найдем точки пересечения окружности и графика функции. Подставим уравнение функции y = x^2 + p в уравнение окружности x^2 + y^2 = 64:
x^2 + (x^2 + p)^2 = 64
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
2x^4 + 2px^2 + p^2 = 64
Учитывая, что x^2 + y^2 = 64, получаем уравнение:
2x^4 + 2px^2 + p^2 = x^2 + y^2
2x^4 + 2px^2 + p^2 = x^2 + 64 - x^2
2x^4 + 2px^2 + p^2 = 64
Теперь нужно найти значения p, при которых это уравнение имеет три корня. Так как это уравнение четвертой степени, оно может иметь не более четырех корней, следовательно, его можно решить численно или методом подбора для определения значения p.
Таким образом, при анализе данной задачи можно найти значение p, при котором окружность и график функции имеют три общие точки.
