Радиус окружности вписанной в равносторонний треугольник равен 6 корней из 3 найдите периметр треугольника

Для решения задачи сначала определим взаимосвязи между элементами равностороннего треугольника и вписанной окружностью.

В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности (r) связан со стороной треугольника (a) следующим образом: [ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} ]

Согласно условию задачи, радиус вписанной окружности равен ( 6\sqrt{3} ). Подставим это значение в формулу: [ 6\sqrt{3} = \frac{a \sqrt{3}}{6} ]

Теперь умножим обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от знаменателя: [ 6 \cdot 6\sqrt{3} = a \sqrt{3} ] [ 36\sqrt{3} = a \sqrt{3} ]

Разделим обе стороны уравнения на (\sqrt{3}): [ 36 = a ]

Следовательно, длина стороны равностороннего треугольника составляет 36 единиц.

Теперь найдем периметр треугольника. В равностороннем треугольнике периметр (P) равен произведению длины одной стороны на 3: [ P = 3a ] [ P = 3 \cdot 36 ] [ P = 108 ]

Итак, периметр равностороннего треугольника равен 108 единицам.

Для решения данной задачи нам необходимо знать свойства равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой, а также все углы равны 60 градусов.

Радиус вписанной окружности равен отрезку, проведенному от вершины треугольника до точки касания окружности. По свойству равностороннего треугольника, данный отрезок является медианой, а также биссектрисой и высотой, и делит сторону треугольника на две равные части.

Таким образом, мы можем построить высоту треугольника, которая будет равна радиусу вписанной окружности и разделит сторону треугольника на две равные части. После чего можно использовать теорему Пифагора для нахождения длины стороны треугольника:

(a^2 = (\frac{a}{2})^2 + r^2), (a^2 = \frac{a^2}{4} + 3*6^2), (a^2 = \frac{a^2}{4} + 108), (a^2 - \frac{a^2}{4} = 108), (\frac{3a^2}{4} = 108), (3a^2 = 432), (a^2 = 144), (a = 12).

Таким образом, сторона равностороннего треугольника равна 12. Поскольку у нас три равные стороны, периметр треугольника равен 12 + 12 + 12 = 36. Итак, периметр равностороннего треугольника равен 36.

Периметр равностороннего треугольника равен 36 корней из 3.