Радиус шара равен 8 см. Через конец радиуса, лежащего на сфере, проведена плоскость под углом 45о к радиусу. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.
Радиус шара равен 8 см. Через конец радиуса, лежащего на сфере, проведена плоскость под углом 45о к радиусу. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.
Для нахождения площади сечения шара плоскостью, проведенной под углом 45 градусов к радиусу, сначала найдем расстояние от центра шара до этой плоскости.
Так как радиус шара равен 8 см, то длина радиуса, проведенного через точку касания плоскости и сферы, равна 8 см. Также из геометрии известно, что угол между радиусом и плоскостью равен 45 градусов. Таким образом, получается, что расстояние от центра шара до этой плоскости равно 8 см cos(45°) = 8 см √2 / 2 = 4√2 см.
Теперь найдем площадь сечения шара этой плоскостью. Это будет круг с радиусом, равным расстоянию от центра до плоскости, то есть 4√2 см. Таким образом, площадь сечения шара будет равна π * (4√2)^2 = 32π см^2.
Итак, площадь сечения шара этой плоскостью равна 32π квадратных сантиметра.
Для решения этой задачи начнём с визуализации геометрической конфигурации.
Определение центра и радиуса шара: Центр шара обозначим как O, а радиус шара равен 8 см.
Определение положения плоскости: Плоскость проведена через конец радиуса, который лежит на сфере, под углом 45° к радиусу. Это означает, что угол между радиусом, проведённым к точке касания плоскости и сферы, и линией, перпендикулярной к плоскости в этой точке, составляет 45°.
Определение расстояния от центра до плоскости: Пусть радиус, проведённый к точке касания плоскости, есть ( r = 8 ) см, и он образует угол 45° с нормалью к плоскости сечения. Используя тригонометрические соотношения, найдем расстояние от центра шара до плоскости (обозначим это расстояние как ( d )). Из соотношений в прямоугольном треугольнике получаем, что ( d = r \cos(45^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} ) см.
Вычисление радиуса сечения шара плоскостью: В сечении получается круг. Чтобы найти радиус этого круга ( R ), используем теорему Пифагора в треугольнике, образованном радиусом шара, расстоянием от центра шара до плоскости и радиусом сечения. Имеем: [ R^2 = r^2 - d^2 = 64 - (4\sqrt{2})^2 = 64 - 32 = 32. ] Тогда ( R = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} ) см.
Площадь сечения: Площадь круга с радиусом ( R ) рассчитывается по формуле ( \pi R^2 ). Подставим полученное значение радиуса: [ \text{Площадь сечения} = \pi (4\sqrt{2})^2 = 32\pi \text{ см}^2. ]
Таким образом, площадь сечения шара данной плоскостью равна ( 32\pi ) квадратных сантиметров.
