Радиус шара уменьшили в 2 раза. Во сколько раз уменьшился объем шара?

Объем шара рассчитывается по формуле:

[ V = \frac{4}{3} \pi r^3, ]

где ( V ) — объем шара, а ( r ) — радиус шара.

Если радиус шара уменьшается в 2 раза, то новый радиус ( r' ) можно выразить как:

[ r' = \frac{r}{2}. ]

Теперь подставим новый радиус в формулу объема:

[ V' = \frac{4}{3} \pi (r')^3 = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{r}{2}\right)^3. ]

Раскроем скобки:

[ V' = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{r^3}{2^3}\right) = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{r^3}{8}\right) = \frac{1}{8} \left(\frac{4}{3} \pi r^3\right). ]

Таким образом, новый объем ( V' ) равен:

[ V' = \frac{1}{8} V. ]

Это означает, что объем шара уменьшился в 8 раз.

В заключение, если радиус шара уменьшается в 2 раза, то объем шара уменьшается в 8 раз.

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте разберем формулу объёма шара и поймём, как изменение радиуса влияет на объём.

Формула объёма шара:

Объём шара рассчитывается по формуле:

[ V = \frac{4}{3} \pi R^3, ]

где:

• ( V ) — объём шара,
• ( R ) — радиус шара,
• ( \pi ) — математическая константа (около 3.14159).

Что происходит при уменьшении радиуса в 2 раза?

Если радиус ( R ) уменьшить в 2 раза, новый радиус станет: [ R_{\text{новый}} = \frac{R}{2}. ]

Подставим это в формулу объёма шара, чтобы найти новый объём ( V{\text{новый}} ): [ V{\text{новый}} = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{R}{2} \right)^3. ]

Теперь упростим выражение: [ \left( \frac{R}{2} \right)^3 = \frac{R^3}{2^3} = \frac{R^3}{8}. ]

Подставим это обратно в формулу: [ V_{\text{новый}} = \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{R^3}{8}. ]

Упростим: [ V_{\text{новый}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3. ]

Обратим внимание, что ( \frac{4}{3} \pi R^3 ) — это исходный объём ( V ). Таким образом: [ V_{\text{новый}} = \frac{1}{8} V. ]

Ответ:

Когда радиус шара уменьшается в 2 раза, его объём уменьшается в 8 раз. Это связано с тем, что объём шара пропорционален кубу радиуса (( R^3 )). Уменьшая радиус в 2 раза, мы уменьшаем объём в ( 2^3 = 8 ) раз.