Радиус шарового сектора равен R, а угол между радиусами в осевом сечении сектора равен 120°. Найдите...

Для решения задачи о нахождении объёма шарового сектора необходимо использовать формулу для объёма сектора сферы. Шаровой сектор — это часть сферы, ограниченная двумя радиусами и сферической поверхностью между ними.

Дано:

• Радиус сферы ( R ).
• Угол между радиусами в осевом сечении сектора ( \theta = 120^\circ ).

Шаги решения:

1. Перевод угла в радианы: Угол ( \theta ) нужно перевести из градусов в радианы, так как в формулах объёма сферических фигур углы обычно выражаются в радианах. Формула перевода: [ \theta{\text{рад}} = \theta \cdot \frac{\pi}{180^\circ} ] Подставив значение: [ \theta{\text{рад}} = 120^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{2\pi}{3} ]

2. Формула объёма шарового сектора: Объём шарового сектора ( V ) можно выразить через радиус сферы ( R ) и угол ( \theta ) (в радианах) следующим образом: [ V = \frac{\theta}{2\pi} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 ] Здесь (\frac{4}{3}\pi R^3) — объём всей сферы, а (\frac{\theta}{2\pi}) — доля сферы, составляющая сектор.

3. Подстановка значений: Подставим значения радиуса и угла в формулу: [ V = \frac{\frac{2\pi}{3}}{2\pi} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 ]

4. Упрощение выражения: Сократим (\pi) в числителе и знаменателе и упростим коэффициенты: [ V = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} R^3 = \frac{4}{9} R^3 ]

Таким образом, объём шарового сектора равен (\frac{4}{9} R^3).

Для нахождения объема сектора шара необходимо воспользоваться формулой для объема конуса: V = (1/3) π R^2 * h, где R - радиус основания конуса (в данном случае радиус шарового сектора), а h - высота конуса.

Для нахождения высоты конуса h воспользуемся теоремой косинусов. Пусть AB - радиус шарового сектора, BC - высота конуса, AC - радиус шара. Тогда по теореме косинусов получаем: BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB AC * cos(120°).

Так как угол между радиусами в осевом сечении сектора равен 120°, то cos(120°) = -1/2. Подставляем это значение в формулу и получаем: BC^2 = R^2 + R^2 + R^2 = 3R^2. Следовательно, BC = R * √3.

Теперь можем найти объем сектора: V = (1/3) π R^2 R √3 = (π R^3 √3) / 3.

Итак, объем шарового сектора равен (π R^3 √3) / 3.