Радиус вписанной в квадрат окружности равен 2√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Радиус окружности, описанной вокруг квадрата, равен удвоенному радиусу вписанной окружности. Следовательно, радиус описанной окружности равен 4√2.

Чтобы найти радиус окружности, описанной около квадрата, сначала разберемся с заданными данными.

1. Дано:

   • Радиус вписанной в квадрат окружности ( r = 2\sqrt{2} ).

2. Найдем сторону квадрата:

   • Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата, поскольку вписанная окружность касается всех сторон квадрата в их серединах.
   • Обозначим сторону квадрата через ( a ). Тогда ( \frac{a}{2} = 2\sqrt{2} ).
   • Отсюда получаем: ( a = 4\sqrt{2} ).

3. Найдем радиус описанной окружности:

   • Радиус описанной окружности равен половине длины диагонали квадрата, так как описанная окружность проходит через все вершины квадрата.
   • Длина диагонали квадрата ( d ) может быть найдена по формуле: ( d = a\sqrt{2} ).
   • Подставим значение стороны квадрата: ( d = 4\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 4 \times 2 = 8 ).

4. Вычислим радиус описанной окружности:

   • Радиус описанной окружности ( R ) равен половине длины диагонали: ( R = \frac{d}{2} = \frac{8}{2} = 4 ).

Таким образом, радиус окружности, описанной около квадрата, равен 4.

Для решения данной задачи нам нужно знать, что радиус вписанной окружности квадрата равен половине диагонали квадрата. Поэтому, если радиус вписанной окружности равен 2√2, то диагональ квадрата равна 4√2.

Так как диагональ квадрата также является диаметром описанной окружности, то радиус описанной окружности будет равен половине длины диагонали, то есть 2√2.

Таким образом, радиус описанной окружности, описанной вокруг квадрата, равен 2√2.