Радиусы оснований усеченного конуса 12 см и 6 см, высота его равна 8 см. Найдите образующую усеченного...

Образующая усеченного конуса равна 10 см. Площадь осевого сечения равна 72π кв. см. Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна 152π кв. см. Площадь полной поверхности усеченного конуса равна 232π кв. см.

Для начала найдем образующую усеченного конуса. Образующая усеченного конуса можно найти по теореме Пифагора в правильном треугольнике, образованном образующей, радиусом верхнего основания и высотой усеченного конуса: [l = \sqrt{(R-r)^2 + h^2}] [l = \sqrt{(12-6)^2 + 8^2}] [l = \sqrt{36 + 64}] [l = \sqrt{100}] [l = 10 см]

Теперь найдем площадь осевого сечения усеченного конуса. Осевое сечение усеченного конуса является кругом, поэтому его площадь можно найти по формуле (S = \pi \cdot R^2): [S = \pi \cdot 12^2] [S = \pi \cdot 144 см^2]

Далее найдем площадь боковой поверхности усеченного конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно найти по формуле (S = \pi \cdot (R+r) \cdot l): [S = \pi \cdot (12+6) \cdot 10] [S = \pi \cdot 18 \cdot 10] [S = \pi \cdot 180 см^2]

Наконец, найдем площадь полной поверхности усеченного конуса. Площадь полной поверхности усеченного конуса можно найти по формуле (S = \pi \cdot (R+r) \cdot l + \pi \cdot R^2 + \pi \cdot r^2): [S = \pi \cdot 18 \cdot 10 + \pi \cdot 12^2 + \pi \cdot 6^2] [S = \pi \cdot 180 + \pi \cdot 144 + \pi \cdot 36] [S = \pi \cdot 360]

Итак, образующая усеченного конуса равна 10 см, площадь осевого сечения равна (144\pi см^2), площадь боковой поверхности равна (180\pi см^2), а площадь полной поверхности равна (360\pi см^2).

Для решения задачи на усеченный конус начнем с нахождения образующей. Усеченный конус представляет собой фигуру, которая получается в результате сечения конуса плоскостью, параллельной его основанию, и удаления одной из частей.

Шаг 1: Находим образующую усеченного конуса

Образующая ( l ) усеченного конуса находится из теоремы Пифагора, так как образующая, радиусы оснований и высота усеченного конуса образуют прямоугольный треугольник. Разница радиусов оснований равна ( R - r = 12 - 6 = 6 ) см, а высота конуса ( h = 8 ) см. Тогда: [ l = \sqrt{(R - r)^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см} ]

Шаг 2: Находим площадь осевого сечения

Осевое сечение усеченного конуса - это трапеция, где меньшее основание равно ( 2\pi r ), большее основание равно ( 2\pi R ), а высота трапеции равна образующей ( l ). Площадь трапеции находится по формуле: [ S = \frac{a + b}{2} \cdot h ] где ( a = 2\pi r ), ( b = 2\pi R ). [ S = \frac{2\pi \cdot 6 + 2\pi \cdot 12}{2} \cdot 10 = \pi \cdot (6 + 12) \cdot 10 = 180\pi \text{ см}^2 ]

Шаг 3: Находим площадь боковой поверхности усеченного конуса

Площадь боковой поверхности усеченного конуса находится по формуле: [ S_{бок} = \pi (R + r) l = \pi (12 + 6) \cdot 10 = 180\pi \text{ см}^2 ]

Шаг 4: Находим площадь полной поверхности усеченного конуса

Площадь полной поверхности усеченного конуса равна сумме площадей боковой поверхности и площадей оснований: [ S{полн} = S{бок} + \pi R^2 + \pi r^2 = 180\pi + \pi \cdot 12^2 + \pi \cdot 6^2 = 180\pi + 144\pi + 36\pi = 360\pi \text{ см}^2 ]

Итог

• Образующая усеченного конуса: ( l = 10 ) см
• Площадь осевого сечения: ( 180\pi \text{ см}^2 )
• Площадь боковой поверхности: ( 180\pi \text{ см}^2 )
• Площадь полной поверхности: ( 360\pi \text{ см}^2 )