Равнобедренная трапеция MNPQ (MN||PQ) описана около окружности, известно что MN=1 PQ=9, найти радиус...

Для решения задачи о радиусе окружности, описанной около равнобедренной трапеции MNPQ, где MN || PQ, а также MN = 1 и PQ = 9, воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции и формулами для радиуса окружности, вписанной в многоугольник.

Шаг 1: Свойства равнобедренной трапеции

Для равнобедренной трапеции, описанной около окружности, справедливо, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Обозначим длины боковых сторон как a и b. С учетом свойства равнобедренной трапеции, имеем:

[ MN + PQ = 2a \quad \text{(где a – длина боковых сторон)} ]

Подставим известные значения:

[ 1 + 9 = 2a \Rightarrow 10 = 2a \Rightarrow a = 5 ]

Таким образом, длины боковых сторон равны 5.

Шаг 2: Формула радиуса вписанной окружности

Для трапеции радиус вписанной окружности (r) можно найти по следующей формуле:

[ r = \frac{S}{p} ]

где S – площадь трапеции, а p – полупериметр.

Шаг 3: Вычисление полупериметра

Полупериметр p равен половине суммы всех сторон:

[ p = \frac{MN + PQ + a + a}{2} = \frac{1 + 9 + 5 + 5}{2} = \frac{20}{2} = 10 ]

Шаг 4: Вычисление площади трапеции

Площадь S равнобедренной трапеции можно вычислить по формуле:

[ S = \frac{(MN + PQ) \cdot h}{2} ]

где h – высота трапеции. Чтобы найти h, используем теорему Пифагора. В равнобедренной трапеции высота h можно выразить через длины оснований и боковых сторон:

[ h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{PQ - MN}{2}\right)^2} = \sqrt{5^2 - \left(\frac{9 - 1}{2}\right)^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 ]

Теперь можем найти площадь S:

[ S = \frac{(MN + PQ) \cdot h}{2} = \frac{(1 + 9) \cdot 3}{2} = \frac{10 \cdot 3}{2} = 15 ]

Шаг 5: Вычисление радиуса окружности

Теперь, подставим значение S и p в формулу для радиуса:

[ r = \frac{S}{p} = \frac{15}{10} = 1.5 ]

Ответ

Радиус окружности, описанной около равнобедренной трапеции MNPQ, равен 1.5.

Для решения задачи о радиусе вписанной окружности в равнобедренную трапецию ( MNPQ ), рассмотрим основные свойства трапеции и вписанной окружности.

Дано:

1. ( MNPQ ) — равнобедренная трапеция, ( MN \parallel PQ ),
2. ( MN = 1 ), ( PQ = 9 ),
3. Трапеция описана около окружности.

Нужно найти радиус ( r ) вписанной окружности.

Свойства трапеции, описанной около окружности:

• Если трапеция описана около окружности, то сумма длин её оснований равна сумме длин её боковых сторон: [ MN + PQ = MP + NQ. ]

Это свойство вытекает из того, что окружность вписана, и касательные к окружности из одной точки равны.

Обозначим длины сторон:

• Основания ( MN = 1 ), ( PQ = 9 ),
• Боковые стороны ( MP ) и ( NQ ). Пусть ( MP = NQ = x ) (так как трапеция равнобедренная, боковые стороны равны).

Подставим в уравнение: [ MN + PQ = MP + NQ. ]

Подставляя известные значения: [ 1 + 9 = x + x, ]

[ 10 = 2x, ]

[ x = 5. ]

Итак, длины боковых сторон ( MP = NQ = 5 ).

Полупериметр трапеции:

Полупериметр ( p ) трапеции равен: [ p = \frac{MN + PQ + MP + NQ}{2}. ]

Подставим: [ p = \frac{1 + 9 + 5 + 5}{2} = \frac{20}{2} = 10. ]

Формула радиуса вписанной окружности:

Радиус вписанной окружности ( r ) в четырёхугольник (в частности, в трапецию) можно найти как отношение площади трапеции ( S ) к её полупериметру ( p ): [ r = \frac{S}{p}. ]

Площадь трапеции:

Формула площади трапеции: [ S = \frac{1}{2} \cdot (MN + PQ) \cdot h, ] где ( h ) — высота трапеции.

Для нахождения ( h ) воспользуемся теоремой Пифагора. Трапеция равнобедренная, значит, высота ( h ) опускается из вершины ( M ) или ( N ) перпендикулярно основанию ( PQ ), деля основание ( PQ ) на два отрезка: ( a = \frac{PQ - MN}{2} ) и ( b = a + MN ).

Итак: [ a = \frac{PQ - MN}{2} = \frac{9 - 1}{2} = 4. ]

Теперь высота ( h ) найдётся из прямоугольного треугольника с катетами ( h ) и ( a ), и гипотенузой ( MP = 5 ): [ MP^2 = h^2 + a^2. ]

Подставим: [ 5^2 = h^2 + 4^2, ]

[ 25 = h^2 + 16, ]

[ h^2 = 9, ]

[ h = 3. ]

Теперь найдём площадь трапеции: [ S = \frac{1}{2} \cdot (MN + PQ) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (1 + 9) \cdot 3 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 3 = 15. ]

Радиус вписанной окружности:

[ r = \frac{S}{p} = \frac{15}{10} = 1.5. ]

Ответ:

Радиус вписанной окружности равен: [ \boxed{1.5}. ]

Для равнобедренной трапеции, описанной около окружности, выполняется следующее свойство: сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Обозначим боковые стороны трапеции как ( a ).

Дано:

• ( MN = 1 )
• ( PQ = 9 )

Согласно свойству, мы имеем: [ MN + PQ = 2a ] Подставляем известные значения: [ 1 + 9 = 2a ] [ 10 = 2a \implies a = 5 ]

Теперь можем использовать формулу для радиуса окружности ( R ), описанной около трапеции: [ R = \frac{S}{p} ] где ( S ) — площадь трапеции, а ( p ) — полупериметр.

Сначала найдем полупериметр ( p ): [ p = \frac{MN + PQ + 2a}{2} = \frac{1 + 9 + 2 \cdot 5}{2} = \frac{20}{2} = 10 ]

Теперь найдем площадь ( S ) равнобедренной трапеции. Площадь трапеции можно найти по формуле: [ S = \frac{(MN + PQ) \cdot h}{2} ] где ( h ) — высота трапеции. Чтобы найти высоту ( h ), можно использовать теорему Пифагора. В равнобедренной трапеции высота ( h ) может быть найдена из прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной разности оснований и боковой стороной: [ h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{PQ - MN}{2}\right)^2} ] Подставим значения: [ h = \sqrt{5^2 - \left(\frac{9 - 1}{2}\right)^2} = \sqrt{25 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 ]

Теперь можем найти площадь ( S ): [ S = \frac{(1 + 9) \cdot 3}{2} = \frac{10 \cdot 3}{2} = 15 ]

Теперь подставим ( S ) и ( p ) в формулу для радиуса: [ R = \frac{S}{p} = \frac{15}{10} = 1.5 ]

Таким образом, радиус окружности, описанной около равнобедренной трапеции ( MNPQ ), равен ( \boxed{1.5} ).