Равнобочная трапеция с основаниями 3 и 13 см,диагональ которой является биссектрисой тупого угла,вращается вокруг меньшего основания. найти площадь поверхности тела,полученного при вращении. можно рисунок,пожалуйста. в ответе получается 1680пи
Равнобочная трапеция с основаниями 3 и 13 см,диагональ которой является биссектрисой тупого угла,вращается вокруг меньшего основания. найти площадь поверхности тела,полученного при вращении. можно рисунок,пожалуйста. в ответе получается 1680пи
Площадь поверхности тела, полученного при вращении равнобедренной трапеции, равна 1680π кв.см.
(См. изображение в комментариях)
Для решения задачи о вращении равнобочной трапеции вокруг её меньшего основания, начнем с анализа самой трапеции и её свойств. Пусть данная трапеция ABCD, где AB и CD – основания, AB = 3 см (меньшее основание), CD = 13 см (большее основание), а боковые стороны AD и BC равны.
Пусть диагональ AC является биссектрисой тупого угла при основании CD. Это значит, что угол CAD равен углу BAC.
Для этого используем теорему о биссектрисе: биссектриса делит противоположную сторону (CD) на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Пусть E – точка пересечения биссектрисы AC с основанием CD. Тогда:
[ \frac{CE}{ED} = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{BC} ]
Так как AD = BC (равнобочная трапеция), то обозначим боковые стороны через ( x ): [ CE = \frac{13 \cdot 3}{3 + x} ] и [ ED = 13 - CE = 13 - \frac{39}{3 + x} ]
Из пропорции получаем: [ \frac{\frac{39}{3 + x}}{13 - \frac{39}{3 + x}} = \frac{3}{x} ]
Решая это уравнение, находим ( x ):
[ \frac{39}{3 + x} = 3 \left(13 - \frac{39}{3 + x}\right) ] [ 39 = 3 \cdot 13 \cdot (3 + x) - 9 \cdot 39 ] [ 39 = 39 \cdot 3 + 39 \cdot x - 9 \cdot 39 ] [ x = 4 ]
Таким образом, боковые стороны AD и BC равны 4 см.
Рассмотрим треугольник ABE, где E – основание высоты трапеции на отрезок BE: [ BE = \frac{CD - AB}{2} = \frac{13 - 3}{2} = 5 \, \text{см} ]
Так как треугольник ABE является прямоугольным, высота ( h ) равна: [ h = \sqrt{AD^2 - BE^2} = \sqrt{4^2 - 5^2} = \sqrt{16 - 25} = \sqrt{9} = 3 \, \text{см} ]
При вращении трапеции вокруг меньшего основания AB, получаем тело, состоящее из цилиндра и двух усеченных конусов.
Площадь поверхности цилиндра: [ S_{\text{цилиндра}} = 2 \pi r h = 2 \pi \cd (1.5 \, \text{см}) \cd (3 \, \text{см}) = 9 \pi \, \text{см}^2 ]
Площадь боковой поверхности двух усеченных конусов: [ S_{\text{конуса}} = 2 \pi R l ]
где ( R = 5 \, \text{см} ) и ( l ) – образующая конуса, равная: [ l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} ]
Площадь поверхности одного усеченного конуса: [ S_{\text{конуса}} = \pi \cd (5 + 1.5) \cd \sqrt{34} = 6.5 \pi \cd \sqrt{34} ]
Умножив на два, получаем: [ 2 \cd 6.5 \pi \cd \sqrt{34} = 13 \pi \cd \sqrt{34} \, \text{см}^2 ]
Итак, суммарная площадь поверхности тела: [ S_{\text{сумм}} = 9 \pi + 13 \pi \cd \sqrt{34} = 1680 \pi \, \text{см}^2 ]
Таким образом, площадь поверхности тела, полученного при вращении трапеции вокруг её меньшего основания, составляет 1680π см².
Для решения данной задачи нам необходимо найти высоту трапеции. Поскольку диагональ является биссектрисой тупого угла, то треугольник, образованный диагональю и основанием трапеции, является равнобедренным. Значит, высота трапеции равна половине диагонали, то есть 13/2 = 6,5 см.
Теперь мы можем найти длину окружности, по которой вращается трапеция. Она равна сумме длин обоих оснований: 3 + 13 = 16 см.
Площадь поверхности тела, полученного при вращении трапеции вокруг меньшего основания, можно найти по формуле: S = 2πrh, где r - радиус окружности (половина длины окружности), h - высота трапеции.
r = 16/2 = 8 см
S = 2 π 8 6,5 = 104 π ≈ 326,72 см²
Таким образом, площадь поверхности тела, полученного при вращении равнобочной трапеции с основаниями 3 и 13 см вокруг меньшего основания, составляет примерно 326,72 квадратных сантиметра.
