Разверткой боковой поверхности цилиндра является квадрат площадью 100п см2.Найти площадь осевого сечения...

Для решения задачи разберем все шаги подробно.

Дано:

1. Развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой квадрат площадью ( 100\pi \, \text{см}^2 ).
2. Требуется найти площадь осевого сечения цилиндра.

Шаг 1: Связь между цилиндром и его разверткой

Развертка боковой поверхности цилиндра — это прямоугольник, одна из сторон которого равна длине окружности основания цилиндра (( L = 2\pi R )), а другая сторона равна высоте цилиндра (( h )). В нашей задаче сказано, что развертка является квадратом, то есть:

[ L = h ]

Так как боковая поверхность цилиндра равна площади этого квадрата (( 100\pi )), можем записать:

[ L \cdot h = 100\pi ]

Подставляем ( L = h ):

[ L^2 = 100\pi ]

Берем корень из обеих сторон:

[ L = h = \sqrt{100\pi} = 10\sqrt{\pi} \, \text{см}. ]

Шаг 2: Найдем радиус основания цилиндра

Длина окружности основания ( L ) равна ( 2\pi R ), где ( R ) — радиус основания цилиндра. Таким образом, имеем уравнение:

[ 2\pi R = L ]

Подставим ( L = 10\sqrt{\pi} ):

[ 2\pi R = 10\sqrt{\pi} ]

Разделим обе стороны на ( 2\pi ):

[ R = \frac{10\sqrt{\pi}}{2\pi} = \frac{5}{\sqrt{\pi}} \, \text{см}. ]

Шаг 3: Найдем площадь осевого сечения цилиндра

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, одна сторона которого равна диаметру основания (( 2R )), а другая сторона равна высоте цилиндра (( h )). Площадь осевого сечения равна:

[ S_{\text{осевое}} = 2R \cdot h ]

Подставим ( h = 10\sqrt{\pi} ) и ( R = \frac{5}{\sqrt{\pi}} ):

[ S_{\text{осевое}} = 2 \cdot \frac{5}{\sqrt{\pi}} \cdot 10\sqrt{\pi}. ]

Упростим выражение:

[ S_{\text{осевое}} = 2 \cdot 5 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi}}{\sqrt{\pi}} = 100 \, \text{см}^2. ]

Ответ:

Площадь осевого сечения цилиндра равна ( \mathbf{100 \, \text{см}^2} ).

Для решения задачи сначала нужно понять, что такое развертка боковой поверхности цилиндра и как она связана с его размерами.

1. Развертка боковой поверхности цилиндра: Боковая поверхность цилиндра при развертке представляет собой прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра ( h ), а ширина равна окружности основания цилиндра. Окружность основания цилиндра можно выразить через радиус ( r ) как ( 2\pi r ). Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра ( S_{\text{бок}} ) можно записать как:

   [ S_{\text{бок}} = 2\pi r \cdot h ]

   Согласно условию задачи, площадь развертки боковой поверхности равна ( 100\pi ) см²:

   [ 2\pi r \cdot h = 100\pi ]

   Упростим уравнение, разделив обе стороны на ( \pi ):

   [ 2rh = 100 ]

   Отсюда можно выразить связь между ( r ) и ( h ):

   [ rh = 50 \quad (1) ]

2. Площадь осевого сечения цилиндра: Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, ширина которого равна диаметру основания ( 2r ), а высота – высоте цилиндра ( h ). Площадь осевого сечения ( S_{\text{осев}} ) можно записать как:

   [ S_{\text{осев}} = 2r \cdot h ]

   Из уравнения (1) мы знаем, что ( rh = 50 ). Подставим это значение в формулу для площади осевого сечения:

   [ S_{\text{осев}} = 2r \cdot h = 2 \cdot (r \cdot h) = 2 \cdot 50 = 100 ]

Таким образом, площадь осевого сечения цилиндра равна ( 100 ) см².