Давайте разберем каждый из ваших вопросов по очереди:
2) Площадь осевого сечения цилиндра и высота цилиндра:
Площадь осевого сечения цилиндра равна произведению диаметра основания и высоты цилиндра. Из условия задачи нам известна площадь осевого сечения ( S = 12\sqrt{\pi} ) дм² и площадь основания ( S_{\text{осн}} = 64 ) дм². Площадь основания цилиндра равна ( \pi r^2 ), отсюда находим радиус:
[ \pi r^2 = 64 ]
[ r^2 = \frac{64}{\pi} ]
Поскольку осевое сечение — это прямоугольник, чья одна сторона — это диаметр основания (( 2r )), а другая — высота цилиндра (( h )), то:
[ S = 2r \cdot h = 12\sqrt{\pi} ]
Подставим значение радиуса:
[ 2\sqrt{\frac{64}{\pi}} \cdot h = 12\sqrt{\pi} ]
[ 2 \cdot \frac{8}{\sqrt{\pi}} \cdot h = 12\sqrt{\pi} ]
[ \frac{16h}{\sqrt{\pi}} = 12\sqrt{\pi} ]
Умножим обе стороны на (\sqrt{\pi}):
[ 16h = 12\pi ]
[ h = \frac{12\pi}{16} = \frac{3\pi}{4} ]
Высота цилиндра ( h = \frac{3\pi}{4} \approx 2.36 ) дм.
3) Рассмотрим отрезок СД:
Отрезок СД — хорда, лежащая на диаметре основания цилиндра. Из условия: высота цилиндра ( h = 7 ) см, диаметр основания ( D = 26 ) см, значит радиус ( r = 13 ) см.
Прямоугольный треугольник, с гипотенузой ( СД = 25 ) см, можно рассматривать как часть прямоугольного треугольника, образованного диаметром и высотой цилиндра. В этом треугольнике:
[ (CD)^2 = (2r)^2 - (2d)^2 ]
Где ( d ) — расстояние от середины отрезка до центра основания.
[ 25^2 = 26^2 - (2d)^2 ]
[ 625 = 676 - 4d^2 ]
[ 4d^2 = 51 ]
[ d^2 = \frac{51}{4} ]
[ d = \frac{\sqrt{51}}{2} ]
4) Расстояние от отрезка СД до основания цилиндра:
Это просто полное расстояние от вершины цилиндра до отрезка, что равно высоте цилиндра: 7 см.
6) Расстояние от точки O до плоскости ΔDEK в конусе:
Отрезок ДЕ — хорда основания конуса на расстоянии 9 см от оси конуса, высота ( KO = 3\sqrt{3} ) см.
Для нахождения расстояния от точки ( O ) до плоскости, через точки ( D ), ( E ), ( K ), нужно использовать теорему о перпендикуляре от центра до плоскости. Поскольку ( KO ) — высота, она перпендикулярна основанию.
Пусть ( O' ) — проекция ( O ) на плоскость ( \triangle DEK ). Расстояние от ( O ) до ( O' ) — это длина высоты из центра основания до плоскости, равная ( 3\sqrt{3} ).
7) Расстояние от центра сферы до плоскости квадрата:
Пусть центр сферы — точка ( O ). Плоскость квадрата параллельна и удалена от ( O ) на расстояние, при котором угол между радиусом сферы ( OE ) и плоскостью квадрата составляет 30 градусов.
Из геометрии следует, что отношение высоты (перпендикуляра от центра сферы до плоскости) к радиусу (( OE )) равно ( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} ).
Если ( a = 18 ) см — сторона квадрата, то радиус сферы будет равен ( \frac{a\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2} ).
Расстояние от центра до плоскости:
[ d = OE \cdot \sin(30^\circ) = 9\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2} ]
8) Радиус шара, касающегося сторон треугольника MNK:
Треугольник с данными сторонами (( MK = 9 ), ( MN = 13 ), ( KN = 14 )) является разносторонним. Радиус вписанной окружности можно найти по формуле:
[ r = \frac{S}{p} ]
Где ( S ) — площадь треугольника, ( p ) — полупериметр (( p = \frac{9 + 13 + 14}{2} = 18 )).
Используем формулу Герона для нахождения площади ( S ):
[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{18 \cdot (18-9) \cdot (18-13) \cdot (18-14)} = \sqrt{18 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 4} ]
[ S = \sqrt{3240} \approx 56.9 ]
Теперь находим радиус ( r ):
[ r = \frac{S}{p} = \frac{56.9}{18} \approx 3.16 ]
Таким образом, радиус шара приблизительно равен ( 3.16 ) см.
