Решите неравенство используя метод интервалов ( x +12)(x-7)<0

Для решения неравенства (x + 12)(x - 7) < 0 с помощью метода интервалов, нужно найти корни уравнения x + 12 = 0 и x - 7 = 0, а затем построить интервалы на числовой оси, где неравенство будет выполняться.

Чтобы решить неравенство ((x + 12)(x - 7) < 0) с помощью метода интервалов, следуйте следующим шагам:

1. Найдите нули функции:

   Выражение ((x + 12)(x - 7) = 0) равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

   • (x + 12 = 0 \Rightarrow x = -12)
   • (x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7)

   Таким образом, нули функции находятся в точках (x = -12) и (x = 7).

2. Разделите числовую ось на интервалы:

   Нули функции делят числовую ось на три интервала:

   • ((-\infty, -12))
   • ((-12, 7))
   • ((7, \infty))

3. Определите знак выражения на каждом интервале:

   Выберите тестовую точку из каждого интервала и подставьте её в выражение ((x + 12)(x - 7)), чтобы определить знак на этом интервале.

   • Для интервала ((-\infty, -12)), возьмем, например, (x = -13): [ (-13 + 12)(-13 - 7) = (-1)(-20) = 20 > 0 ] Следовательно, на интервале ((-\infty, -12)) выражение положительно.

   • Для интервала ((-12, 7)), возьмем, например, (x = 0): [ (0 + 12)(0 - 7) = 12 \times (-7) = -84 < 0 ] Следовательно, на интервале ((-12, 7)) выражение отрицательно.

   • Для интервала ((7, \infty)), возьмем, например, (x = 8): [ (8 + 12)(8 - 7) = 20 \times 1 = 20 > 0 ] Следовательно, на интервале ((7, \infty)) выражение положительно.

4. Запишите решение:

   Мы ищем, где выражение отрицательно, то есть ((x + 12)(x - 7) < 0). Это происходит на интервале ((-12, 7)).

Таким образом, решение неравенства ((x + 12)(x - 7) < 0) — это интервал ((-12, 7)).

Для решения данного неравенства сначала находим корни уравнения, которое образуется при равенстве нулю выражения (x + 12)(x - 7): x + 12 = 0 => x = -12 x - 7 = 0 => x = 7

Получили два корня: x = -12 и x = 7. Теперь строим интервалы на числовой прямой, используя найденные корни:

1) x < -12 2) -12 < x < 7 3) x > 7

Далее выбираем произвольное значение из каждого интервала и подставляем в исходное неравенство (x + 12)(x - 7) < 0, чтобы определить знак выражения в каждом интервале:

1) Пусть x = -13, тогда (-13 + 12)(-13 - 7) = (-1)(-20) = 20 > 0 (неравенство не выполняется) 2) Пусть x = 0, тогда (0 + 12)(0 - 7) = (12)(-7) = -84 < 0 (неравенство выполняется) 3) Пусть x = 8, тогда (8 + 12)(8 - 7) = (20)(1) = 20 > 0 (неравенство не выполняется)

Таким образом, решением неравенства (x + 12)(x - 7) < 0 является интервал -12 < x < 7.