Ромб со стороной 8 см и острый угол 60 вращается около стороны. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Для нахождения площади поверхности тела вращения ромба необходимо воспользоваться формулой для площади поверхности вращения фигуры вокруг прямой оси.

Площадь поверхности вращения ромба составит:

S = 2πrh,

где r - радиус вращения (в данном случае равен 8/2 = 4 см), h - высота ромба (в данном случае высота равна asin(60°) = 8sin(60°) = 8*√3/2 = 4√3 см).

Подставляем значения:

S = 2π44√3 = 32π√3 см².

Таким образом, площадь поверхности тела вращения ромба со стороной 8 см и острым углом 60° вокруг стороны равна 32π√3 квадратных сантиметра.

Рассмотрим задачу о вращении ромба вокруг одной из его сторон. Нам дан ромб со стороной 8 см и острым углом 60 градусов. Поскольку ромб вращается вокруг одной из своих сторон, тело вращения будет поверхностью вращения, называемой конусом. Давайте разберёмся, как это происходит.

1. Определение параметров ромба

Стороны и углы:

• Стороны ромба: ( a = 8 ) см.
• Острый угол: ( \alpha = 60^\circ ).

Высота ромба:

• Высота ромба ( h ) может быть найдена как: [ h = a \cdot \sin(\alpha) = 8 \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см}. ]

2. Образование конуса при вращении

Когда ромб вращается вокруг одной из своих сторон, он описывает конус. В этом конусе:

• Высота конуса (высота ромба) ( h = 4\sqrt{3} ) см.
• Образующая конуса (сторона ромба) ( l = 8 ) см.
• Радиус основания конуса ( r ) может быть найден по теореме Пифагора: [ r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{8^2 - (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 - 48} = \sqrt{16} = 4 \text{ см}. ]

3. Площадь поверхности конуса

Площадь поверхности конуса состоит из площади основания и боковой поверхности.

Площадь основания:

• Основание конуса — это круг с радиусом ( r = 4 ) см. [ S_{\text{основания}} = \pi r^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi \text{ см}^2. ]

Площадь боковой поверхности:

• Боковая поверхность образуется вращением образующей ( l = 8 ) см вокруг высоты конуса. [ S_{\text{боковой}} = \pi r l = \pi \cdot 4 \cdot 8 = 32\pi \text{ см}^2. ]

4. Общая площадь поверхности

Общая площадь поверхности тела вращения (конуса) равна сумме площади основания и боковой поверхности: [ S{\text{общая}} = S{\text{основания}} + S_{\text{боковой}} = 16\pi + 32\pi = 48\pi \text{ см}^2. ]

Ответ

Площадь поверхности тела вращения, образованного вращением ромба со стороной 8 см и острым углом 60 градусов вокруг одной из его сторон, равна ( 48\pi ) квадратных сантиметров.