Середины сторон параллелограмма являются вершинами ромба. Докажите, что данный параллелограмм - прямоугольник?

Для того чтобы доказать, что данный параллелограмм является прямоугольником, достаточно показать, что его диагонали перпендикулярны и равны между собой. Поскольку середины сторон параллелограмма являются вершинами ромба, то диагонали ромба взаимно перпендикулярны и равны между собой. Следовательно, данный параллелограмм является прямоугольником.

Чтобы доказать, что параллелограмм, середины сторон которого являются вершинами ромба, является прямоугольником, рассмотрим следующее:

Доказательство

1. Обозначения и основные свойства: Пусть дан параллелограмм (ABCD), и (E), (F), (G), (H) — середины сторон (AB), (BC), (CD), (DA) соответственно. Мы хотим доказать, что если (EFGH) — ромб, то (ABCD) — прямоугольник.

2. Свойства средних линий:

   • В любом параллелограмме отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон, параллелен и равен половине третьей стороны. Следовательно, (EF \parallel GH) и (EF = GH), а также (FG \parallel EH) и (FG = EH).
   • Эти отрезки также равны и параллельны диагоналям параллелограмма.

3. Ромб и его свойства:

   • По условию, (EFGH) — ромб, следовательно, все его стороны равны: (EF = FG = GH = EH).
   • В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.

4. Диагонали параллелограмма (ABCD):

   • Поскольку (EFGH) — ромб, его диагонали (которые являются средними линиями параллелограмма (ABCD)) перпендикулярны. То есть, если диагонали (AC) и (BD) пересекаются в точке (O), то векторное произведение ( \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0 ), что означает, что они перпендикулярны.
   • В параллелограмме диагонали перпендикулярны только в том случае, если параллелограмм является прямоугольником.

5. Вывод: Таким образом, если середины сторон параллелограмма образуют вершины ромба, то диагонали этого параллелограмма перпендикулярны, что является критерием того, что параллелограмм — прямоугольник.

Заключение

Мы доказали, что если середины сторон параллелограмма являются вершинами ромба, то диагонали параллелограмма пересекаются под прямым углом, следовательно, данный параллелограмм является прямоугольником.

Для доказательства того, что данный параллелограмм является прямоугольником, можно воспользоваться тем фактом, что диагонали ромба перпендикулярны друг другу.

Пусть ABCD - параллелограмм, где E, F, G, H - середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Так как середины сторон параллелограмма являются вершинами ромба, то получаем, что EFGH - ромб.

Так как диагонали ромба перпендикулярны, то EH и FG перпендикулярны друг другу. Также, EH и FG являются диагоналями параллелограмма ABCD, следовательно, EH и FG перпендикулярны.

Таким образом, мы получили, что одна из диагоналей параллелограмма ABCD перпендикулярна к другой. Это означает, что данный параллелограмм является прямоугольником.