Синус острого угла A треугольника ABC равен 2√6/5. Найдите cosA

Для решения данной задачи воспользуемся тригонометрическим тождеством, которое утверждает, что синус и косинус острого угла в прямоугольном треугольнике связаны следующим образом: sin(A) = cos(90° - A). Таким образом, cos(A) = sin(90° - A).

Известно, что sin(A) = 2√6/5. Так как угол A острый, то 90° - A является острым углом в прямоугольном треугольнике. Тогда sin(90° - A) = cos(A).

Теперь найдем sin(90° - A). Так как сумма углов треугольника равна 180°, то A + (90° - A) + 90° = 180°. Отсюда следует, что 90° - A является углом в треугольнике, противолежащим гипотенузе. Таким образом, sin(90° - A) = sin(угла, противолежащего гипотенузе) = sin(угла, противолежащего углу A) = sin(A).

Итак, cos(A) = sin(90° - A) = sin(A) = 2√6/5.

Чтобы найти (\cos A), зная (\sin A), можно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством:

[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 ]

Дано, что (\sin A = \frac{2\sqrt{6}}{5}). Подставим это значение в тождество:

[ \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 + \cos^2 A = 1 ]

Вычислим (\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2):

[ \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = \frac{(2\sqrt{6})^2}{5^2} = \frac{4 \times 6}{25} = \frac{24}{25} ]

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

[ \frac{24}{25} + \cos^2 A = 1 ]

Решим это уравнение для (\cos^2 A):

[ \cos^2 A = 1 - \frac{24}{25} = \frac{25}{25} - \frac{24}{25} = \frac{1}{25} ]

Теперь найдём (\cos A):

[ \cos A = \pm \sqrt{\frac{1}{25}} = \pm \frac{1}{5} ]

Поскольку угол (A) — острый, косинус острого угла положителен. Следовательно:

[ \cos A = \frac{1}{5} ]

Таким образом, (\cos A = \frac{1}{5}).