Составить уравнение касательной к окружности x^2+y^2-4x-6y+8=0, проведенной в точке A(3;5) на ней. Ответ...

Чтобы составить уравнение касательной к окружности в заданной точке, сначала нужно определить центр и радиус окружности. Уравнение окружности дано в общем виде:

[ x^2 + y^2 - 4x - 6y + 8 = 0. ]

Сначала преобразуем его к стандартному виду уравнения окружности:

[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, ]

где ((a, b)) — центр окружности, а (r) — её радиус.

Для этого нужно выполнить процесс выделения полного квадрата для (x) и (y):

1. Сгруппируем однотипные члены:

[ (x^2 - 4x) + (y^2 - 6y) = -8. ]

1. Выделим полный квадрат:

Для (x^2 - 4x):

• Найдем половину коэффициента при (x), возведем в квадрат: ((-4/2)^2 = 4).
• Добавим и вычтем это значение:

[ x^2 - 4x = (x^2 - 4x + 4) - 4 = (x - 2)^2 - 4.]

Для (y^2 - 6y):

• Найдем половину коэффициента при (y), возведем в квадрат: ((-6/2)^2 = 9).
• Добавим и вычтем это значение:

[ y^2 - 6y = (y^2 - 6y + 9) - 9 = (y - 3)^2 - 9.]

Теперь подставим выделенные квадраты в уравнение:

[ (x - 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 = -8. ]

[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5. ]

Таким образом, уравнение окружности в стандартном виде:

[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5. ]

Центр окружности ((a, b) = (2, 3)), радиус (r = \sqrt{5}).

Теперь найдем уравнение касательной в точке (A(3, 5)).

Для окружности уравнение касательной в точке ((x_1, y_1)) на окружности имеет вид:

[ (x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2. ]

Подставляем значения:

(x_1 = 3), (y_1 = 5), (a = 2), (b = 3), (r^2 = 5).

[ (3 - 2)(x - 2) + (5 - 3)(y - 3) = 5. ]

[ 1(x - 2) + 2(y - 3) = 5. ]

Раскрываем скобки:

[ x - 2 + 2y - 6 = 5. ]

[ x + 2y - 8 = 5. ]

Переносим все в левую часть:

[ x + 2y - 13 = 0. ]

Это и есть уравнение касательной к окружности в точке (A(3, 5)).

Для того чтобы найти уравнение касательной к окружности в заданной точке A(3;5), необходимо сначала найти координаты центра окружности. Для этого преобразуем уравнение окружности к стандартному виду:

(x^2 - 4x) + (y^2 - 6y) = -8 (x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = -8 + 4 + 9 (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5

Отсюда центр окружности находится в точке C(2;3).

Теперь найдем угловой коэффициент касательной в точке A(3;5). Для этого вычислим производные уравнения окружности и получим уравнение касательной в точке A:

f(x) = (x - 2)^2 + (y - 3)^2 - 5 f'(x) = 2(x - 2) + 2(y - 3)y' y' = -(x - 2)/(y - 3)

Так как касательная перпендикулярна радиусу окружности, то угловой коэффициент касательной будет противоположным к обратному радиуса окружности:

m = -1/y' = (y - 3)/(x - 2)

Подставим координаты точки A(3;5) в уравнение и найдем уравнение касательной:

m = (5 - 3)/(3 - 2) = 2 y - 5 = 2(x - 3) y = 2x - 1

Теперь выразим уравнение касательной в общем виде:

2x - y - 1 = 0 y = 2x - 1 y - 2x + 1 = 0 x + 2y - 13 = 0

Получаем уравнение касательной к окружности в заданной точке A(3;5): x + 2y - 13 = 0.

Уравнение касательной к окружности в точке A(3;5) на ней будет иметь вид x+2y-13=0.