Сторона АВ ромба ABCD равна a, один из углов равен 60°. Через сторону АВ проведена плоскость α на расстоянии...

а) Для начала, рассмотрим ромб ABCD. Так как один из углов ромба равен 60°, то ромб ABCD состоит из четырех равных по длине сторон $a$ и углов при каждой вершине ${60}^{\circ }$ и ${120}^{\circ }$ $посколькусуммаугловвромбе({360}^{\circ }$, и углы при вершинах A и C являются острыми, а при B и D — тупыми). Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам, также диагонали ромба делят углы ромба пополам. Таким образом, диагональ, соединяющая вершины A и C, делит углы ${60}^{\circ }$ и ${120}^{\circ }$ на ${30}^{\circ }$ и ${60}^{\circ }$ соответственно. По свойству 30-60-90 треугольников, длина меньшей диагонали $AC$ составляет $a$.

Теперь рассмотрим плоскость α, проходящую через сторону AB на расстоянии $a/2$ от точки D. Поскольку D является вершиной ромба, расстояние от D до плоскости α равно $a/2$. Поскольку плоскость α параллельна плоскости, в которой лежит ромб, расстояние от точки C до плоскости α также будет равно $a/2$.

б) Для решения этой части нужно нарисовать ромб ABCD с углом ${60}^{\circ }$ у вершины A, диагональю AC и плоскостью α, проходящей через сторону AB на высоте $a/2$ от D. Линейный угол двугранного угла DABM $гдеM-точканаплоскости\alpha$ будет визуально представлять угол между линией AB и линией, проведённой из точки D к точке M на плоскости α. Этот угол будет равен ${90}^{\circ }$, поскольку плоскость α параллельна плоскости ромба.

в) Синус угла между плоскостью ромба и плоскостью α равен синусу угла, который создаётся между перпендикуляром, опущенным из точки D на плоскость α, и плоскостью ромба. Поскольку плоскость α параллельна плоскости ромба, этот угол равен $0^{\circ }$, следовательно, синус этого угла равен $0$.

а) Рассмотрим треугольник ADC, в котором угол ADC равен 60°, сторона AD равна a, а расстояние от точки D до плоскости α равно a/2. Таким образом, расстояние от точки C до плоскости α равно a/2 * sin$60°$ = a√3/4.

б) Линейный угол двугранного угла DABM обозначим как α. Так как угол B равен 60°, то угол DAB равен 120°. Тогда угол α = 180° - угол DAB = 180° - 120° = 60°.

в) Плоскость ромба параллельна плоскости α, так как расстояние между ними постоянно и равно а/2. Следовательно, угол между плоскостью ромба и плоскостью α равен 0°, а значит синус этого угла равен 0.