Сторона основания и высота правильной треугольной пирамиды KLMN равны 6 и 18 соответственно. Найдите...

Для решения задачи сначала найдем основные элементы пирамиды и используем их для вычисления тангенса угла между боковым ребром и плоскостью основания.

1. Основание пирамиды: Основание пирамиды (KLMN) является правильным треугольником (LMN) со стороной 6.

2. Центр основания: Поскольку треугольник (LMN) правильный, его центроид (центр тяжести) совпадает с центром вписанной и описанной окружности. Координаты этого центра можно найти как среднее арифметическое координат вершин. В данном случае, поскольку треугольник симметричен, центроид находится на пересечении медиан треугольника и делит каждую медиану в отношении 2:1.

3. Высота пирамиды: Высота пирамиды (KN) равна 18 и опускается из вершины (K) на центр основания треугольника (LMN).

4. Длина медианы основания: Длину медианы правильного треугольника (LMN) можно вычислить по формуле: [ m = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 = 3\sqrt{3} ]

5. Координаты вершин основания: Для простоты расположим треугольник в плоскости так, чтобы его центр находился в начале координат, а одна из вершин, например (L), имела координаты ((0, 0, 0)). Тогда другие вершины можно определить симметрично относительно центра.

6. Длина бокового ребра: Длина бокового ребра (KL) можно найти, используя теорему Пифагора в треугольнике, где катеты - это высота пирамиды и медиана основания: [ KL = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 18^2} = \sqrt{27 + 324} = \sqrt{351} ]

7. Тангенс угла: Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен углу между вектором бокового ребра и его проекцией на плоскость основания. Проекция бокового ребра на основание есть медиана основания.

   Тангенс данного угла (\theta) можно найти, используя отношение высоты пирамиды к длине медианы основания: [ \tan(\theta) = \frac{\text{высота}}{\text{длина медианы}} = \frac{18}{3\sqrt{3}} = \frac{18}{3\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{9} = 2\sqrt{3} ]

Таким образом, тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды равен (2\sqrt{3}).

Для решения данной задачи нам необходимо найти длину бокового ребра пирамиды. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром, половиной основания и высотой пирамиды.

По теореме Пифагора: (l^2 = (\frac{1}{2} \cdot 6)^2 + 18^2), (l^2 = 3^2 + 18^2), (l^2 = 9 + 324), (l^2 = 333), (l = \sqrt{333}).

Теперь нам нужно найти тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды. Для этого воспользуемся следующим соотношением: (\tan(\theta) = \frac{18}{\sqrt{333}}), (\tan(\theta) \approx 0.962).

Таким образом, тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды KLMN равен приблизительно 0.962.