Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4 корня из 2 см , а боковое ребро - 5 см...

Для решения задачи необходимо рассчитать объем правильной четырехугольной пирамиды. Пирамида называется правильной, если в основании находится правильный многоугольник, а все боковые ребра равны. В данном случае основание — это квадрат со стороной ( a = 4\sqrt{2} ) см, а боковое ребро (высота боковой грани) равно ( 5 ) см.

Шаг 1: Найдем высоту пирамиды

Поскольку пирамида правильная, высота ( h ) опускается из вершины пирамиды на центр основания. Центр основания квадрата совпадает с точкой пересечения диагоналей. Диагональ квадрата ( d ) вычисляется по формуле: [ d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 8 \text{ см}. ]

Центр основания делит диагональ пополам, поэтому расстояние от центра до вершины квадрата будет: [ \frac{d}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ см}. ]

Теперь применим теорему Пифагора в треугольнике, образованном высотой пирамиды ( h ), половиной диагонали основания (4 см) и боковым ребром (5 см), чтобы найти высоту пирамиды ( h ): [ h^2 + 4^2 = 5^2. ]

Решим уравнение: [ h^2 + 16 = 25, ] [ h^2 = 25 - 16, ] [ h^2 = 9, ] [ h = 3 \text{ см}. ]

Шаг 2: Найдем площадь основания

Площадь основания ( S ) — это площадь квадрата со стороной ( a ): [ S = a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \times 2 = 32 \text{ см}^2. ]

Шаг 3: Вычислим объем пирамиды

Объем пирамиды ( V ) вычисляется по формуле: [ V = \frac{1}{3} \times S \times h. ]

Подставим найденные значения: [ V = \frac{1}{3} \times 32 \times 3 = 32 \text{ см}^3. ]

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды составляет ( 32 \text{ см}^3 ).

Объем правильной четырехугольной пирамиды вычисляется по формуле V = (1/3) S h, где S - площадь основания, h - высота пирамиды. Для нахождения объема пирамиды сначала нужно найти площадь основания. Площадь основания равна S = (4√2)^2 = 4 2 2 = 16 см^2. Затем находим высоту пирамиды с помощью теоремы Пифагора: h = √(5^2 - (2√2)^2) = √(25 - 8) = √17 см. И, наконец, подставляем все значения в формулу объема: V = (1/3) 16 √17 ≈ 30,73 см^3.

Чтобы вычислить объем правильной четырехугольной пирамиды, нужно воспользоваться формулой:

V = (1/3) S_osn h,

где V - объем пирамиды, S_osn - площадь основания, h - высота пирамиды.

Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды равна:

S_osn = a^2,

где a - длина стороны основания. Дано, что сторона основания равна 4√2 см, следовательно:

S_osn = (4√2)^2 = 16 * 2 = 32 см^2.

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для правильного треугольника, образованного высотой, половиной длины бокового ребра и радиус-вектором центра основания пирамиды:

h^2 + (a/2)^2 = r^2,

где r - радиус вписанной окружности в основание пирамиды. Поскольку пирамида правильная, радиус вписанной окружности равен половине диагонали основания:

r = a√2 / 2 = 4√2√2 / 2 = 4 см.

Теперь можем найти высоту:

h^2 + (4√2 / 2)^2 = 4^2,

h^2 + 8 = 16, h^2 = 8, h = √8 = 2√2 см.

Теперь можем найти объем пирамиды:

V = (1/3) 32 2√2 = 64√2 / 3 ≈ 37.09 см^3.

Объем этой пирамиды составляет около 37.09 кубических сантиметров.