Сторона основания правильной треугольной пирамиды 6 см, а ее боковые ребра равны 8 см. Найти площадь...

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду, у которой сторона основания равна ( a = 6 ) см, а боковые ребра равны ( b = 8 ) см.

Шаг 1: Найдем площадь основания

Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной ( a = 6 ) см. Площадь правильного треугольника можно найти по формуле: [ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 ]

Подставим значения: [ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

Шаг 2: Найдем высоту боковой грани

Боковая грань пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием ( a = 6 ) см и боковыми сторонами ( b = 8 ) см. Для нахождения площади боковой грани нам нужна высота этого треугольника, опущенная на основание ( a ).

Обозначим высоту боковой грани за ( h_b ). Используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — боковое ребро ( b ), один катет — половина основания ( \frac{a}{2} ), а другой катет — искомая высота ( h_b ): [ b^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h_b^2 ]

Подставим значения: [ 8^2 = \left(\frac{6}{2}\right)^2 + h_b^2 ] [ 64 = 3^2 + h_b^2 ] [ 64 = 9 + h_b^2 ] [ h_b^2 = 64 - 9 ] [ h_b^2 = 55 ] [ h_b = \sqrt{55} \text{ см} ]

Шаг 3: Найдем площадь боковой грани

Площадь боковой грани равна: [ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_b ]

Подставим значения: [ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{55} = 3\sqrt{55} \text{ см}^2 ]

Шаг 4: Найдем площадь полной поверхности пирамиды

Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади основания и трех боковых граней: [ S{\text{полн}} = S{\text{осн}} + 3 S_{\text{бок}} ]

Подставим значения: [ S_{\text{полн}} = 9\sqrt{3} + 3 \cdot 3\sqrt{55} = 9\sqrt{3} + 9\sqrt{55} \text{ см}^2 ]

Шаг 5: Найдем высоту пирамиды и объем

Высота пирамиды опущена из вершины на центр основания. Центр основания правильного треугольника находится на высоте ( \frac{\sqrt{3}}{3}a ) от любой из вершин основания. Обозначим высоту пирамиды за ( h ). Используем теорему Пифагора в треугольнике, где гипотенуза — боковое ребро ( b ), один катет — высота основания ( \frac{\sqrt{3}}{3}a ), а другой катет — высота пирамиды ( h ): [ b^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}a\right)^2 + h^2 ]

Подставим значения: [ 8^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 6\right)^2 + h^2 ] [ 64 = \left(2\sqrt{3}\right)^2 + h^2 ] [ 64 = 4 \cdot 3 + h^2 ] [ 64 = 12 + h^2 ] [ h^2 = 52 ] [ h = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \text{ см} ]

Теперь найдем объем пирамиды: [ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h ]

Подставим значения: [ V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{13} ] [ V = \frac{1}{3} \cdot 18\sqrt{39} ] [ V = 6\sqrt{39} \text{ см}^3 ]

Ответ:

1. Площадь полной поверхности пирамиды: ( 9\sqrt{3} + 9\sqrt{55} ) см².
2. Объем пирамиды: ( 6\sqrt{39} ) см³.

Для начала найдем высоту треугольной пирамиды. Рассмотрим высоту, опущенную из вершины пирамиды на основание. Она будет являться высотой боковой грани треугольной пирамиды и разделит ее на два прямоугольных треугольника. Один из этих треугольников будет прямоугольным, с катетами 6 см (сторона основания) и h (высота). Второй треугольник будет равнобедренным, с катетами h и 4 см (половина длины бокового ребра). По теореме Пифагора найдем высоту h:

h^2 + 3^2 = 8^2 h^2 + 9 = 64 h^2 = 55 h = √55

Теперь можем найти площадь боковой поверхности пирамиды. Она равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани:

Sбок = 1/2 (3 6) * √55 = 9√55

Площадь основания равна:

Sосн = 3 6 1/2 = 9

Теперь найдем полную площадь поверхности пирамиды, сложив площадь боковой поверхности, площадь основания и площадь треугольных граней:

Spoln = 9√55 + 9 + 3 * 6 = 9√55 + 27

Наконец, найдем объем пирамиды. Он равен одной трети произведения площади основания на высоту пирамиды:

V = 1/3 3 6 * √55 = 6√55

Итак, площадь полной поверхности пирамиды равна 9√55 + 27 кв.см, а объем пирамиды равен 6√55 куб.см.