Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6 см, а диагональ боковой грани 10 см. Найдите...

Для того чтобы найти площадь боковой и полной поверхности правильной треугольной призмы, сначала рассчитаем высоту призмы, используя диагональ боковой грани.

1. Находим высоту призмы: Поскольку призма правильная, основания представляют собой равносторонние треугольники, стороны которых равны 6 см. Диагональ боковой грани образует прямоугольный треугольник с высотой призмы и половиной стороны треугольника основания (как катеты), где диагональ является гипотенузой.

   Таким образом, используя теорему Пифагора: [ h^2 + \left(\frac{6}{2}\right)^2 = 10^2 ] [ h^2 + 3^2 = 100 ] [ h^2 = 100 - 9 = 91 ] [ h = \sqrt{91} \approx 9.54 \text{ см} ]

2. Вычисляем площадь боковой поверхности призмы: Боковая поверхность состоит из трех прямоугольников, каждый из которых имеет ширину, равную стороне основания (6 см) и высоту, равную высоте призмы (9.54 см). Площадь одного прямоугольника будет: [ S{\text{одного прямоугольника}} = 6 \times 9.54 = 57.24 \text{ см}^2 ] Площадь боковой поверхности (три прямоугольника): [ S{\text{боковой}} = 3 \times 57.24 = 171.72 \text{ см}^2 ]

3. Вычисляем площадь основания призмы: Площадь одного равностороннего треугольника с стороной 6 см: [ S{\text{основания}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9\sqrt{3} \text{ см}^2 \approx 15.59 \text{ см}^2 ] Поскольку оснований два, общая площадь оснований: [ S{\text{двух оснований}} = 2 \times 15.59 = 31.18 \text{ см}^2 ]

4. Вычисляем полную площадь призмы: Полная площадь призмы складывается из площади боковой поверхности и площади двух оснований: [ S{\text{полная}} = S{\text{боковой}} + S_{\text{двух оснований}} = 171.72 + 31.18 = 202.9 \text{ см}^2 ]

Итак, площадь боковой поверхности призмы составляет примерно 171.72 см², а площадь полной поверхности — около 202.9 см².

Для решения этой задачи нам нужно использовать основные свойства правильной треугольной призмы.

1. Площадь боковой поверхности призмы: Поскольку у нас правильная треугольная призма, то боковая поверхность состоит из трех равносторонних треугольников. Площадь одного такого треугольника можно найти по формуле: S = (a h) / 2, где a - сторона треугольника (равна 6 см), h - диагональ боковой грани (равна 10 см). S = (6 10) / 2 = 30 см² (площадь одного треугольника). Так как у призмы три таких треугольника, то площадь боковой поверхности призмы равна: Sбок = 3 * 30 = 90 см².

2. Площадь полной поверхности призмы: Полная поверхность призмы состоит из боковой поверхности и двух оснований. Поскольку основание - это правильный треугольник, то его площадь можно найти по формуле: Sосн = (a^2 √3) / 4, где a - сторона основания (равна 6 см). Sосн = (6^2 √3) / 4 = 9√3 см² (площадь одного основания). Так как у призмы два основания, то площадь полной поверхности призмы равна: Sполн = Sбок + 2 Sосн = 90 + 2 9√3 = 90 + 18√3 см².

Итак, площадь боковой поверхности призмы равна 90 см², а площадь полной поверхности призмы равна 90 + 18√3 см².