Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3 дм и 5 дм, Острый угол равен 60 градусам. Найдите...

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Определим параметры прямого параллелепипеда:
   Пусть стороны основания прямого параллелепипеда равны ( a = 3 \, \text{дм} ) и ( b = 5 \, \text{дм} ). Высота параллелепипеда обозначим как ( h ).

2. Найдем длину диагонали основания:
   Для прямоугольного параллелепипеда длина диагонали основания ( d ) может быть найдена по формуле: [ d = \sqrt{a^2 + b^2} ] Подставим значения: [ d = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \approx 5.83 \, \text{дм} ]

3. Определим большую диагональ параллелепипеда:
   Большая диагональ ( D ) параллелепипеда выражается формулой: [ D = \sqrt{d^2 + h^2} ] Подставим известные значения: [ D = \sqrt{(\sqrt{34})^2 + h^2} = \sqrt{34 + h^2} ] Мы знаем, что ( D = 25 \, \text{дм} ), поэтому у нас есть уравнение: [ 25 = \sqrt{34 + h^2} ]

4. Решим уравнение для нахождения ( h ):
   Возведем обе стороны уравнения в квадрат: [ 625 = 34 + h^2 ] Теперь выразим ( h^2 ): [ h^2 = 625 - 34 = 591 ] Найдем ( h ): [ h = \sqrt{591} \approx 24.3 \, \text{дм} ]

Таким образом, высота параллелепипеда равна примерно ( 24.3 \, \text{дм} ).

Для решения задачи давайте разберемся с геометрией прямого параллелепипеда, а также с тем, каким образом связаны его элементы (стороны основания, высота и диагональ).

Дано:

1. Основание параллелепипеда — это прямоугольник со сторонами ( a = 3 \, \text{дм} ) и ( b = 5 \, \text{дм} ).
2. Острый угол между диагональю основания и одной из сторон прямоугольника равен ( 60^\circ ).
3. Длина большей диагонали параллелепипеда равна ( d = 25 \, \text{дм} ).
4. Нужно найти высоту параллелепипеда (( h )).

Этап 1. Выражение диагонали основания

Диагональ основания ( d{\text{осн}} ) прямоугольника со сторонами ( a ) и ( b ) вычисляется по теореме Пифагора: [ d{\text{осн}} = \sqrt{a^2 + b^2}. ] Подставим значения ( a = 3 \, \text{дм} ), ( b = 5 \, \text{дм} ): [ d_{\text{осн}} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}. ]

Этап 2. Связь между высотой и большей диагональю параллелепипеда

Большая диагональ ( d ) параллелепипеда соединяет два противоположных угла и выражается через диагональ основания ( d{\text{осн}} ) и высоту ( h ) по теореме Пифагора: [ d = \sqrt{d{\text{осн}}^2 + h^2}. ] Подставим ( d = 25 \, \text{дм} ) и ( d_{\text{осн}} = \sqrt{34} ): [ 25 = \sqrt{(\sqrt{34})^2 + h^2}. ] Упростим: [ 25 = \sqrt{34 + h^2}. ] Возведем обе части в квадрат: [ 25^2 = 34 + h^2. ] [ 625 = 34 + h^2. ] [ h^2 = 625 - 34 = 591. ] [ h = \sqrt{591}. ]

Этап 3. Приблизительный расчет высоты

Посчитаем ( \sqrt{591} ): [ \sqrt{591} \approx 24.3 \, \text{дм}. ]

Ответ:

Высота параллелепипеда равна приблизительно ( 24.3 \, \text{дм} ).