Стороны основания прямой треугольной призмы равны 13 см, 37 см и 40 см, а боковое ребро 20 см. Найдите:...

а) Площадь боковой поверхности призмы равна периметру основания умноженному на высоту призмы: П = 1/2 (13 + 37 + 40) 20 = 30 * 20 = 600 см²

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей боковой поверхности и двух оснований: Полная поверхность = 600 + 13 37 + 40 13 = 600 + 481 + 520 = 1601 см²

б) Чтобы найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через боковое ребро и меньшую высоту основания, нужно найти площадь прямоугольника, образованного боковым ребром и высотой основания: Площадь сечения = 20 * 13 = 260 см²

в) Чтобы найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону основания под углом 30° к нему, нужно разделить основание на две части, сумму площадей которых равны 13 * 40 / 2 = 260 см². Таким образом, площадь сечения будет равна 260 см².

Для решения задачи нам нужно будет использовать ряд формул и методов из геометрии.

а) Площади боковой и полной поверхностей призмы

Прямая треугольная призма имеет боковые грани в виде прямоугольников, а основание — в виде треугольника. Для вычисления площадей нам нужно:

1. Площадь боковой поверхности: Боковая поверхность призмы состоит из трёх прямоугольников, каждый из которых имеет одну сторону равную боковому ребру (20 см), а другую — одной из сторон основания. Поэтому: [ S_{\text{бок}} = 20 \times (13 + 37 + 40) = 20 \times 90 = 1800 \, \text{см}^2 ]

2. Площадь полной поверхности: Площадь полной поверхности складывается из площади боковой поверхности и двух оснований. Для нахождения площади основания (треугольника) используем формулу Герона: [ p = \frac{13 + 37 + 40}{2} = 45 \, \text{см} ] [ S{\text{осн}} = \sqrt{45 \times (45 - 13) \times (45 - 37) \times (45 - 40)} = \sqrt{45 \times 32 \times 8 \times 5} ] [ S{\text{осн}} = \sqrt{57600} = 240 \, \text{см}^2 ] Следовательно, полная площадь поверхности: [ S{\text{полн}} = S{\text{бок}} + 2 \times S_{\text{осн}} = 1800 + 2 \times 240 = 1800 + 480 = 2280 \, \text{см}^2 ]

б) Площадь сечения призмы плоскостью через боковое ребро и меньшую высоту основания

Для нахождения площади сечения, проходящего через боковое ребро и меньшую высоту, нужно определить высоту треугольника с наименьшей из трех сторон в основании. Пусть наименьшая сторона — 13 см. Высота, проведенная к этой стороне, находится как: [ h = \frac{2 \times S{\text{осн}}}{13} = \frac{2 \times 240}{13} \approx 36.92 \, \text{см} ] Сечение будет прямоугольником с одной стороной равной высоте основания, а другой — боковому ребру: [ S{\text{сеч1}} = 20 \times 36.92 \approx 738.4 \, \text{см}^2 ]

в) Площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону основания под углом 30° к нему

Когда плоскость проходит через сторону основания под углом к ней, образуется параллелограмм. Рассмотрим сторону 13 см, через которую проходит сечение под углом 30°. Площадь сечения вычисляется через формулу площади параллелограмма: [ S_{\text{сеч2}} = a \times h = 13 \times 20 \times \sin(30^\circ) = 13 \times 20 \times 0.5 = 130 \, \text{см}^2 ]

Таким образом, мы нашли все необходимые площади:

• Площадь боковой поверхности: (1800 \, \text{см}^2)
• Площадь полной поверхности: (2280 \, \text{см}^2)
• Площадь первого сечения: (738.4 \, \text{см}^2)
• Площадь второго сечения: (130 \, \text{см}^2)