Стороны правильного треугольника равны 3. Найдите скалярное произведение векторов и .

Для того чтобы найти скалярное произведение векторов в правильном треугольнике со сторонами, равными 3, нам сначала нужно определить координаты вершин треугольника и соответствующие координаты векторов.

Рассмотрим правильный треугольник ( ABC ) с длиной стороны ( a = 3 ). Поместим одну из вершин треугольника в начало координат, скажем, ( A(0, 0) ). Вершину ( B ) расположим на оси ( x ), тогда её координаты будут ( B(3, 0) ).

Теперь найдём координаты вершины ( C ). В правильном треугольнике все углы равны 60 градусов. Вершина ( C ) будет находиться так, что треугольник равнобедренный с вершиной в точке ( A ).

Для нахождения координат вершины ( C ) используем следующие соображения:

• Координата ( x ) будет равна ( \frac{3}{2} ), так как ( C ) находится на середине отрезка ( AB ) по оси ( x ).
• Высота правильного треугольника равна ( h = \frac{\sqrt{3}}{2} a ). Подставляя ( a = 3 ), получаем ( h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 3 = \frac{3\sqrt{3}}{2} ).

Таким образом, координаты точки ( C ) будут ( \left(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) ).

Теперь найдём векторы ( \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{AC} ):

• Вектор ( \mathbf{AB} ) имеет координаты ( \mathbf{AB} = B - A = (3, 0) - (0, 0) = (3, 0) ).
• Вектор ( \mathbf{AC} ) имеет координаты ( \mathbf{AC} = C - A = \left(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) - (0, 0) = \left(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) ).

Теперь найдём скалярное произведение векторов ( \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{AC} ). Скалярное произведение двух векторов ( \mathbf{u} = (u_1, u_2) ) и ( \mathbf{v} = (v_1, v_2) ) определяется как: [ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2. ]

Таким образом, скалярное произведение ( \mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC} ) будет: [ \mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC} = 3 \cdot \frac{3}{2} + 0 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{2} + 0 = \frac{9}{2}. ]

Итак, скалярное произведение векторов ( \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{AC} ) равно ( \frac{9}{2} ).

Для нахождения скалярного произведения векторов воспользуемся формулой: ( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta) ), где ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ) - вектора, ( |\vec{a}| ) и ( |\vec{b}| ) - их длины, ( \theta ) - угол между векторами.

Так как у нас правильный треугольник, у которого все стороны равны 3, то угол между сторонами равен 60 градусам (так как правильный треугольник делится на три равносторонних треугольника с углами по 60 градусов).

Теперь найдем длины наших векторов: Пусть вектор ( \vec{a} ) и вектор ( \vec{b} ) образуют стороны правильного треугольника. Тогда длина каждого вектора равна длине стороны треугольника, то есть 3.

Таким образом, ( |\vec{a}| = |\vec{b}| = 3 ).

Подставим найденные значения в формулу скалярного произведения: ( \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ) = 9 \cdot \frac{1}{2} = 4.5 ).

Итак, скалярное произведение векторов ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ) равно 4.5.