Стороны треугольника 5 корней из 3 и 4 см, а угол между ними равен 30 градусов. Найдите третью сторону...

Для решения данной задачи воспользуемся законом косинусов. Пусть третья сторона треугольника равна см. Обозначим длины известных сторон как и . Угол между сторонами и равен 30 градусов. Тогда закон косинусов примет вид:

^2 = ^2 + ^2 - 2 * * * cos(30°).

Подставляя известные значения, получим:

^2 = (5)^2 + (4)^2 - 2 5 4 * cos(30°).

^2 = 25 + 16 - 40 * cos(30°).

^2 = 41 - 40 * sqrt(3) / 2.

^2 = 41 - 20 * sqrt(3).

^2 = sqrt(31).

Таким образом, третья сторона треугольника равна корню из 31 см, что соответствует ответу б).

Для решения этой задачи используем теорему косинусов. Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора для произвольных треугольников и формулируется следующим образом:

[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma), ]

где ( c ) — искомая сторона, ( a ) и ( b ) — известные стороны, а ( \gamma ) — угол между сторонами ( a ) и ( b ).

В нашем случае ( a = 5\sqrt{3} ), ( b = 4 ), а угол ( \gamma = 30^\circ ).

Сначала подставим известные значения в формулу:

[ c^2 = (5\sqrt{3})^2 + 4^2 - 2 \cdot 5\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \cos(30^\circ). ]

Вычислим каждое слагаемое:

1. ((5\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75),
2. (4^2 = 16),
3. (\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}).

Подставим эти значения в формулу:

[ c^2 = 75 + 16 - 2 \cdot 5\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}. ]

Упростим выражение:

[ c^2 = 75 + 16 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \frac{3}{2}. ]

Упростим произведение:

[ c^2 = 75 + 16 - 5 \cdot 4 \cdot 3. ]

[ c^2 = 75 + 16 - 60. ]

[ c^2 = 31. ]

Таким образом,

[ c = \sqrt{31}. ]

Следовательно, правильный ответ:

б) (\sqrt{31}) см.