Стороны треугольника относятся как 4:5:6, а периметр треугольника, образованного его средними линиями,...

Средние линии треугольника равны половине длин соответствующих сторон. Таким образом, средние линии треугольника с отношением сторон 4:5:6 будут равны 2:2.5:3.

Для решения задачи сначала найдем длины сторон исходного треугольника, а затем вычислим длины его средних линий.

1. Определение длин сторон треугольника:

   Пусть стороны треугольника имеют длины (4x), (5x) и (6x). Периметр треугольника, образованного средними линиями, равен 30 см. Средняя линия в треугольнике параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. То есть периметр треугольника, образованного средними линиями, равен половине периметра исходного треугольника.

   Периметр исходного треугольника: [ P = 4x + 5x + 6x = 15x ]

   Периметр треугольника, образованного средними линиями: [ P_{\text{мл}} = \frac{1}{2} \times P = \frac{1}{2} \times 15x = \frac{15x}{2} ]

   По условию дано, что (P_{\text{мл}} = 30) см. [ \frac{15x}{2} = 30 ]

   Решим уравнение: [ 15x = 60 \quad \Rightarrow \quad x = 4 ]

2. Вычисление длин сторон исходного треугольника:

   Подставим найденное значение (x): [ a = 4x = 4 \times 4 = 16 \text{ см} ] [ b = 5x = 5 \times 4 = 20 \text{ см} ] [ c = 6x = 6 \times 4 = 24 \text{ см} ]

3. Определение длины средних линий:

   Средние линии треугольника равны половине соответствующих сторон: [ m_a = \frac{b+c}{2} = \frac{20 + 24}{2} = \frac{44}{2} = 22 \text{ см} ] [ m_b = \frac{a+c}{2} = \frac{16 + 24}{2} = \frac{40}{2} = 20 \text{ см} ] [ m_c = \frac{a+b}{2} = \frac{16 + 20}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ см} ]

Таким образом, длины средних линий этого треугольника составляют 18 см, 20 см и 22 см.

Для решения данной задачи нам необходимо знать, что средние линии треугольника делятся друг на друга в отношении 1:2. Из условия известно, что периметр треугольника, образованного средними линиями, равен 30 см, поэтому периметр исходного треугольника равен 303=90 см. Далее, мы можем составить систему уравнений по отношению сторон треугольника: 4x + 5x + 6x = 90, где x - это коэффициент, на который мы умножаем каждую сторону треугольника. Решив данное уравнение, мы найдем x = 6 см. Таким образом, стороны исходного треугольника равны 24 см, 30 см и 36 см. Далее, найдем полупериметр треугольника: p = (24 + 30 + 36) / 2 = 45 см. Теперь мы можем найти длины средних линий треугольника: 1/2 √(2(24^2 + 30^2) - 36^2) = 18 см, 1/2 √(2(30^2 + 36^2) - 24^2) = 20 см, 1/2 √(2*(36^2 + 24^2) - 30^2) = 15 см. Итак, длины средних линий треугольника равны 18 см, 20 см и 15 см.