Свойство прямоугольного треугольника, гипотенуза которого, в два раза больше катета.

В прямоугольном треугольнике, если гипотенуза в два раза больше одного из катетов, то такой треугольник обладает особыми свойствами и представляет собой частный случай прямоугольного треугольника, который известен как треугольник с углами 30°, 60° и 90°.

Свойства такого треугольника:

1. Углы:

   • Угол напротив самого короткого катета (того, который равен половине гипотенузы) равен 30°.
   • Угол напротив второго катета равен 60°.
   • Угол напротив гипотенузы, как всегда в прямоугольном треугольнике, равен 90°.

2. Стороны:

   • Пусть ( c ) — гипотенуза, а ( a ) — катет, который в два раза меньше гипотенузы. Тогда ( c = 2a ).
   • Второй катет, который мы обозначим через ( b ), можно найти из Пифагоровой теоремы: [ c^2 = a^2 + b^2 ] Подставляя ( c = 2a ), получаем: [ (2a)^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow 4a^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow 3a^2 = b^2 \Rightarrow b = a\sqrt{3} ]

3. Соотношение сторон:

   • Отношение сторон в таком треугольнике всегда будет ( 1 : \sqrt{3} : 2 ), что соответствует катету напротив угла 30°, катету напротив угла 60° и гипотенузе, соответственно.

4. Тригонометрические функции:

   • Синус угла 30°: ( \sin 30° = \frac{1}{2} )
   • Косинус угла 30°: ( \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} )
   • Синус угла 60°: ( \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} )
   • Косинус угла 60°: ( \cos 60° = \frac{1}{2} )

Применение:

Треугольники с углами 30°, 60° и 90° часто встречаются в задачах на вычисление высоты, расстояний и других параметров, где требуется точное знание соотношений между сторонами и углами. Это также полезно в решении задач, связанных с симметрией и пропорциями в различных геометрических фигурах и конструкциях.

Если гипотенуза прямоугольного треугольника в два раза больше катета, то это означает, что катеты этого треугольника будут в отношении 1:2. Также из этого следует, что данный треугольник будет подобен другому прямоугольному треугольнику, у которого гипотенуза в два раза меньше одного из катетов. Таким образом, свойством данного треугольника будет подобие с другим прямоугольным треугольником с определенными пропорциями длин сторон.