Точка E и F лежат соответственно на сторонах AD и BC параллелограмма ABCD, причем AE=ED, BF/FC=4/3. a) Выразите вектор EF через векторы m=AB и n=AD b) может ли при каком-нибудь значение x выполнятся равенство EF=x CD?
Точка E и F лежат соответственно на сторонах AD и BC параллелограмма ABCD, причем AE=ED, BF/FC=4/3. a) Выразите вектор EF через векторы m=AB и n=AD b) может ли при каком-нибудь значение x выполнятся равенство EF=x CD?
a) Вектор EF = (4/7)m + (3/7)n b) Нет, так как EF не параллелен CD, их векторы не коллинеарны.
а) Выражение вектора EF через векторы m и n
Для решения этой задачи нужно сначала определить положение точек E и F на сторонах AD и BC параллелограмма.
Так как AE = ED, точка E делит отрезок AD пополам. Поэтому координаты точки E можно выразить как среднее арифметическое координат точек A и D: [ \vec{E} = \frac{\vec{A} + \vec{D}}{2} ]
Точка F делит отрезок BC в отношении 4/3, то есть точка F делит отрезок, начиная от точки B, на части в пропорции 4 к 3. По правилу отрезка, разделенного в данном отношении, имеем: [ \vec{F} = \frac{3\vec{B} + 4\vec{C}}{7} ]
Теперь, чтобы найти вектор ( \vec{EF} ), вычислим: [ \vec{EF} = \vec{F} - \vec{E} ] [ \vec{EF} = \left(\frac{3\vec{B} + 4\vec{C}}{7}\right) - \left(\frac{\vec{A} + \vec{D}}{2}\right) ]
Так как в параллелограмме ( \vec{AB} = \vec{DC} ) (обозначим этот вектор как m) и ( \vec{AD} = \vec{BC} ) (обозначим этот вектор как n), то можно выразить ( \vec{B} ) через ( \vec{A} ) и m, а ( \vec{C} ) через ( \vec{A} ), m и n: [ \vec{B} = \vec{A} + \vec{m} ] [ \vec{C} = \vec{B} + \vec{n} = \vec{A} + \vec{m} + \vec{n} ] [ \vec{D} = \vec{A} + \vec{n} ]
Подставим эти выражения: [ \vec{EF} = \left(\frac{3(\vec{A} + \vec{m}) + 4(\vec{A} + \vec{m} + \vec{n})}{7}\right) - \left(\frac{\vec{A} + (\vec{A} + \vec{n})}{2}\right) ] [ \vec{EF} = \left(\frac{3\vec{A} + 3\vec{m} + 4\vec{A} + 4\vec{m} + 4\vec{n}}{7}\right) - \left(\frac{2\vec{A} + \vec{n}}{2}\right) ] [ \vec{EF} = \left(\frac{7\vec{A} + 7\vec{m} + 4\vec{n}}{7}\right) - \left(\vec{A} + \frac{\vec{n}}{2}\right) ] [ \vec{EF} = \vec{m} + \frac{3\vec{n}}{2} ]
b) Равенство EF = x CD
Поскольку вектор ( \vec{CD} ) равен ( -\vec{n} ) (в направлении от C к D), мы можем увидеть, что вектор ( \vec{EF} ) выражается через ( \vec{m} ) и ( \vec{n} ), и поэтому направленно-пропорциональное выражение ( \vec{EF} ) через ( \vec{CD} ) возможно только в том случае, если ( \vec{m} = 0 ), что не имеет смысла для параллелограмма. Таким образом, ( \vec{EF} ) не может быть выражен как кратное ( \vec{CD} ) при каком-либо значении x.
a) Вектор EF можно выразить через векторы m=AB и n=AD следующим образом: EF = AE + EN + NF EF = AE + (AD - DN) + (CB - CF) EF = AE + AD - DN + CB - CF EF = AE + AD - DN + CB - (3/7)CF EF = AE + AD - DN + CB - (3/7)(BC - CB) EF = AE + AD - DN + CB - (3/7)BC + (3/7)CB EF = AE + AD - DN + CB - (3/7)BC + (3/7)(AD - DN) EF = AE + AD - DN + CB - (3/7)BC + (3/7)AD - (3/7)DN EF = AE + AD + CB + (3/7)AD - (3/7)DN - (3/7)BC EF = AE + AD + CB + (10/7)AD - (10/7)DN - (10/7)BC EF = AE + AD + (10/7)(AD - DN) + CB - (10/7)BC EF = AE + AD + (10/7)AB + CB - (10/7)BC
b) Для равенства EF=x CD должно выполняться условие, что вектор EF равен x умноженному на вектор CD. Однако, так как EF зависит от векторов AB, AD и BC, а CD является независимым вектором, то равенство EF=x CD не может быть выполнено ни при каком значении x.
