Точка M одинаково удалена от всех сторон треугольника `ABC`, у которого AB=13 см,BC=15 см,AC=14 см....

Для нахождения расстояния от точки M до сторон треугольника, нужно воспользоваться свойством перпендикуляра, опущенного из точки M на стороны треугольника.

Поскольку точка M одинаково удалена от всех сторон треугольника ABC, мы можем провести из точки M перпендикуляры к каждой из сторон. Обозначим точки пересечения этих перпендикуляров с соответствующими сторонами треугольника как D, E и F.

Так как расстояние от точки M до плоскости треугольника равно 3 см, то точка M лежит на расстоянии 3 см от плоскости треугольника. Проведем из точки M перпендикуляр к плоскости треугольника, и обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с плоскостью как P.

Теперь, чтобы найти расстояние от точки M до стороны треугольника, можно воспользоваться теоремой Пифагора в треугольниках MDP, MFP и MPE, где MD, MF и ME - искомые расстояния от точки M до сторон треугольника.

После нахождения значений MD, MF и ME, мы сможем узнать расстояние от точки M до сторон треугольника.

В данной задаче необходимо найти расстояние от точки ( M ) до сторон треугольника ( ABC ), при условии, что точка ( M ) одинаково удалена от всех сторон треугольника.

Для начала, чтобы решить эту задачу, следует определить, что точка ( M ) является центром вписанной окружности, так как она одинаково удалена от всех сторон треугольника. Расстояние от центра вписанной окружности до стороны треугольника называется радиусом вписанной окружности.

1. Вычисление площади треугольника ( ABC ):

   Используем формулу Герона для нахождения площади ( S ) треугольника:

   [ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}, ]

   где ( a = 13 ) см, ( b = 14 ) см, ( c = 15 ) см, а ( p ) — полупериметр треугольника.

   Найдем полупериметр треугольника:

   [ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21 \text{ см}. ]

   Теперь подставим значения в формулу Герона:

   [ S = \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}. ]

   Посчитаем подкоренное выражение:

   [ 21 \cdot 8 = 168, ]

   [ 168 \cdot 7 = 1176, ]

   [ 1176 \cdot 6 = 7056. ]

   Тогда:

   [ S = \sqrt{7056} = 84 \text{ см}^2. ]

2. Вычисление радиуса вписанной окружности:

   Формула для радиуса вписанной окружности ( r ) такова:

   [ r = \frac{S}{p}, ]

   где ( S ) — площадь треугольника, а ( p ) — его полупериметр.

   Подставим известные значения:

   [ r = \frac{84}{21} = 4 \text{ см}. ]

   Итак, радиус вписанной окружности равен 4 см. Это и есть искомое расстояние от точки ( M ) до сторон треугольника ( ABC ).

Таким образом, расстояние от точки ( M ) до каждой из сторон треугольника ( ABC ) равно 4 см.