Точка N лежит на стороне BC параллелограмма ABCD так что BN:NC=1:3.Выразите векторы AN и ND через векторы...

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами параллелограмма. Поскольку точка N лежит на стороне BC параллелограмма ABCD, то вектор BN можно представить как сумму векторов AB и AN, умноженных на коэффициенты k и l соответственно: BN = k AB + l AN.

Так как точка N делит отрезок BC в отношении 1:3, то коэффициенты k и l равны 1 и 3 соответственно: BN = AB + 3 * AN.

Также, с учетом свойств параллелограмма, вектор ND равен вектору AB: ND = AB.

Теперь выразим вектор AN через векторы a = AD и b = AB. Для этого выразим вектор AB через векторы a и b: AB = AD - DB = AD - AB = -b, так как AD = -b.

Подставим это значение в уравнение для вектора BN: BN = -b + 3 * AN.

Таким образом, выражая вектор AN через векторы a и b, получаем: AN = (BN + b) / 3 = (AB + 3 AN + b) / 3 = (-b + 3 AN - b) / 3 = AN = -2/3 * b.

Итак, мы получили, что вектор AN равен -2/3 * вектора AB.

Вектор AN = 1/4 a + 3/4 b Вектор ND = -3/4 a + 1/4 b

Чтобы выразить векторы (\mathbf{AN}) и (\mathbf{ND}) через векторы (\mathbf{a} = \mathbf{AD}) и (\mathbf{b} = \mathbf{AB}), начнем с определения координат всех точек параллелограмма и используем отношение деления стороны.

1. Координаты точек:

   • Пусть точка ( A ) имеет координаты ((0, 0)).
   • Точка ( B ) будет иметь координаты ((b_x, b_y)), где (\mathbf{b} = \mathbf{AB}).
   • Точка ( D ) будет иметь координаты ((a_x, a_y)), где (\mathbf{a} = \mathbf{AD}).
   • Точка ( C ) будет иметь координаты ((b_x + a_x, b_y + a_y)), так как (\mathbf{BC} = \mathbf{AD} = \mathbf{a}).

2. Координаты точки N: Точка ( N ) делит отрезок ( BC ) в отношении ( 1:3 ). По формуле деления отрезка в данном отношении, координаты ( N ) можно найти как: [ N_x = \frac{3 \cdot b_x + 1 \cdot (b_x + a_x)}{1 + 3} = \frac{4b_x + a_x}{4} ] [ N_y = \frac{3 \cdot b_y + 1 \cdot (b_y + a_y)}{1 + 3} = \frac{4b_y + a_y}{4} ] Таким образом, ( N \left( \frac{4b_x + a_x}{4}, \frac{4b_y + a_y}{4} \right) ).

3. Вектор AN: [ \mathbf{AN} = \mathbf{ON} - \mathbf{OA} = \left(\frac{4b_x + a_x}{4}, \frac{4b_y + a_y}{4}\right) - (0, 0) = \left(\frac{4b_x + a_x}{4}, \frac{4b_y + a_y}{4}\right) ] [ \mathbf{AN} = \frac{1}{4}(4\mathbf{b} + \mathbf{a}) = \mathbf{b} + \frac{1}{4}\mathbf{a} ]

4. Вектор ND: [ \mathbf{ND} = \mathbf{OD} - \mathbf{ON} = (a_x, a_y) - \left(\frac{4b_x + a_x}{4}, \frac{4b_y + a_y}{4}\right) ] [ \mathbf{ND} = \left(a_x - \frac{4b_x + a_x}{4}, a_y - \frac{4b_y + a_y}{4}\right) = \left(\frac{4a_x - 4b_x - a_x}{4}, \frac{4a_y - 4b_y - a_y}{4}\right) ] [ \mathbf{ND} = \frac{3}{4}\mathbf{a} - \mathbf{b} ]

Таким образом, векторы (\mathbf{AN}) и (\mathbf{ND}) выражаются через (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) как: [ \mathbf{AN} = \mathbf{b} + \frac{1}{4}\mathbf{a} ] [ \mathbf{ND} = \frac{3}{4}\mathbf{a} - \mathbf{b} ]