Точки A(-5 -4) B(-4 3) C(-1 1). Являются вершинами треугольника ABC.
1) Доказать что треугольник ABC равнобедренный.
2) составить ур-е окружности с центром в точке С и проходящий через тчку B/
3) Принадлежит ли окружности точка A ( по пункту 2).
4) Составить ур-е прямой проходящей через A и С.
Буду очень благодарен если решите пожалуйста .
Конечно, давайте решим все поставленные задачи по порядку.
Для этого найдем длины сторон треугольника ABC, используя формулу расстояния между двумя точками: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]
Найдем длину стороны AB: [ AB = \sqrt{(-4 - (-5))^2 + (3 - (-4))^2} = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} ]
Найдем длину стороны BC: [ BC = \sqrt{(-1 - (-4))^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} ]
Найдем длину стороны AC: [ AC = \sqrt{(-1 - (-5))^2 + (1 - (-4))^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} ]
Теперь сравним длины сторон:
Длина (AB) не равна (BC) и не равна (AC), и (BC) не равна (AC). Таким образом, треугольник ABC не является равнобедренным.
Уравнение окружности с центром в точке ( (h, k) ) и радиусом ( R ) имеет вид: [ (x - h)^2 + (y - k)^2 = R^2 ]
Центр окружности в точке ( C(-1, 1) ), радиус ( R ) равен расстоянию между точками ( C ) и ( B ): [ R = BC = \sqrt{13} ]
Таким образом, уравнение окружности: [ (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 13 ]
Проверим, принадлежит ли точка ( A(-5, -4) ) окружности, подставив её координаты в уравнение окружности: [ (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 13 ]
Подставим ( x = -5 ) и ( y = -4 ): [ (-5 + 1)^2 + (-4 - 1)^2 = (-4)^2 + (-5)^2 = 16 + 25 = 41 ]
Так как ( 41 \neq 13 ), точка ( A ) не принадлежит этой окружности.
Уравнение прямой в общем виде: ( y = kx + b )
Для этого найдем угловой коэффициент ( k ) прямой, проходящей через точки ( A(-5, -4) ) и ( C(-1, 1) ): [ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - (-4)}{-1 - (-5)} = \frac{5}{4} ]
Теперь используем точку ( C(-1, 1) ) для нахождения свободного члена ( b ): [ y = kx + b ] [ 1 = \frac{5}{4} \cdot (-1) + b ] [ 1 = -\frac{5}{4} + b ] [ b = 1 + \frac{5}{4} = \frac{4}{4} + \frac{5}{4} = \frac{9}{4} ]
Таким образом, уравнение прямой: [ y = \frac{5}{4}x + \frac{9}{4} ]
Или, умножив на 4 для упрощения: [ 4y = 5x + 9 ]
Все задачи решены. Надеюсь, это поможет!
1) Для доказательства равнобедренности треугольника ABC необходимо показать, что длины двух его сторон равны. Расстояние между точками A и C можно найти по формуле длины отрезка между двумя точками в прямоугольной системе координат:
AC = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((-1 - (-5))² + (1 - (-4))²) = √(4² + 5²) = √(16 + 25) = √41.
Теперь найдем расстояние между точками B и C:
BC = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((-1 - (-4))² + (1 - 3)²) = √(3² + (-2)²) = √(9 + 4) = √13.
Таким образом, AC ≠ BC, следовательно, треугольник ABC не является равнобедренным.
2) Уравнение окружности с центром в точке C и проходящей через точку B имеет вид:
(x - x₃)² + (y - y₃)² = r²,
где (x₃, y₃) - координаты центра окружности (точки C), r - радиус окружности.
Учитывая, что точка B(-4, 3) лежит на этой окружности, подставим ее координаты:
(-4 + 1)² + (3 - 1)² = r²,
(-3)² + 2² = r²,
9 + 4 = r²,
r² = 13.
Таким образом, уравнение окружности будет:
(x + 1)² + (y - 1)² = 13.
3) Чтобы проверить, принадлежит ли точка A окружности с центром в C и проходящей через B, подставим координаты точки A(-5, -4) в уравнение окружности:
(-5 + 1)² + (-4 - 1)² = 13,
(-4)² + (-5)² = 13,
16 + 25 ≠ 13.
Таким образом, точка A не принадлежит данной окружности.
4) Уравнение прямой, проходящей через точки A и C, можно найти, используя координаты этих точек. Уравнение прямой в общем виде: y = kx + b. Найдем угловой коэффициент k:
k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (-4 - 1) / (-5 - (-1)) = -5 / -4 = 5 / 4.
Теперь найдем коэффициент b, подставив координаты точки A(-5, -4):
-4 = (5 / 4) * (-5) + b,
-4 = -25 / 4 + b,
b = -4 + 25 / 4 = -4 + 6.25 = 2.25.
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки A и C, будет:
y = (5 / 4)x + 2.25.
