Точки A,B C и D лежат на окружности, <ABC=42°, <BAC=24°.Найдите <BDC

Для того чтобы найти угол BDC, мы можем воспользоваться теоремой о центральном угле. Угол, образованный двумя хордами, равен половине суммы пересекаемых ими дуг. Таким образом, угол BDC равен половине суммы дуг, на которые он опирается.

Дуга BC, на которую опирается угол BDC, равна сумме углов ABC и BAC, то есть 42° + 24° = 66°. Следовательно, угол BDC равен половине этой суммы, то есть 33°.

Итак, угол BDC равен 33°.

Для нахождения угла BDC нужно воспользоваться теоремой о центральном угле. Угол BDC равен удвоенной мере угла BAC, то есть 48°.

Давайте рассмотрим задачу более подробно. У нас есть точки ( A ), ( B ), ( C ) и ( D ), которые лежат на одной окружности. Известны углы ( \angle ABC = 42^\circ ) и ( \angle BAC = 24^\circ ). Необходимо найти угол ( \angle BDC ).

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами вписанных углов и теоремой о вписанном угле.

1. Определение углов:

   • ( \angle ABC ) — угол, вписанный в окружность и опирающийся на дугу ( AC ).
   • ( \angle BAC ) — угол, вписанный в окружность и опирающийся на дугу ( BC ).

2. Вписанные углы:

   • Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Чтобы найти ( \angle BDC ), заметим, что ( \angle BAC ) и ( \angle BDC ) опираются на одну и ту же дугу ( BD ). В данном случае, ( \angle BDC ) и ( \angle BAC ) являются смежными углами.

1. Угол при центре:
   • Центр окружности обозначим как ( O ). Тогда ( \angle BOC ) — центральный угол, который в два раза больше вписанного угла ( \angle BAC ).

Так как ( \angle BAC = 24^\circ ), центральный угол ( \angle BOC ) будет: [ \angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 24^\circ = 48^\circ. ]

1. Вписанный угол ( \angle BDC ):
   • Вписанный угол ( \angle BDC ) опирается на ту же дугу ( BC ), что и ( \angle BAC ). Следовательно, он также равен половине центрального угла ( \angle BOC ).

Таким образом, ( \angle BDC ) будет равен: [ \angle BDC = \frac{1}{2} \cdot \angle BOC = \frac{1}{2} \cdot 48^\circ = 24^\circ. ]

Однако, давайте еще раз проверим все шаги, чтобы убедиться в правильности.

Используем теорему: сумма противоположных углов четырёхугольника, вписанного в окружность, равна (180^\circ). Пусть ( \angle BDC = x ). Тогда: [ \angle BAC + \angle BDC = 180^\circ - \angle ABC. ] Подставляем известные значения: [ 24^\circ + x = 180^\circ - 42^\circ, ] [ 24^\circ + x = 138^\circ, ] [ x = 138^\circ - 24^\circ, ] [ x = 114^\circ. ]

Итак, правильный результат: [ \angle BDC = 114^\circ. ]

Таким образом, угол ( \angle BDC ) равен ( 114^\circ ).