Точки A,B,C,D лежат на окружности с центром в точке O. Докажите, что если угол АОВ=углу COD, то AB=CD.

Для доказательства равенства отрезков AB и CD воспользуемся тем, что углы, опирающиеся на одной и той же хорде, равны.

Поскольку точки A, B, C, D лежат на окружности с центром O, то угол AOB равен углу COD (они опираются на одну и ту же дугу).

Таким образом, у нас имеются два треугольника: треугольник AOB и треугольник COD, в которых соответственно углы AOB и COD равны друг другу.

Так как углы при основании равны, то и стороны, противолежащие данным углам, также равны. Следовательно, AB=CD.

Таким образом, если угол АОВ равен углу COD, то отрезки AB и CD равны.

Для доказательства утверждения, что если точки ( A, B, C, D ) лежат на одной окружности с центром в точке ( O ) и углы ( \angle AOB = \angle COD ), то ( AB = CD ), воспользуемся свойствами окружности и центральных углов.

1. Центральные углы и дуги:

   • Известно, что величина центрального угла равна величине дуги, на которую он опирается. То есть, если ( \angle AOB ) является центральным углом, то он опирается на дугу ( AB ), и аналогично ( \angle COD ) опирается на дугу ( CD ).

2. Равенство углов:

   • По условию задачи, углы ( \angle AOB ) и ( \angle COD ) равны. Это означает, что дуги, на которые они опираются, также равны. Следовательно, дуга ( AB ) равна дуге ( CD ).

3. Равенство хорд:

   • По свойству окружности, если две дуги равны, то соответствующие им хорды также равны. Поскольку дуги ( AB ) и ( CD ) равны, то и хорды ( AB ) и ( CD ) тоже равны.

Таким образом, мы доказали, что если центральные углы ( \angle AOB ) и ( \angle COD ) равны, то соответствующие им хорды ( AB ) и ( CD ) также равны, что и требовалось доказать.