Точки C и D делят окружность на дуги, градусные меры которых пропорциональны числам 5 и 7. Через точку...

Чтобы решить задачу о вычислении градусных мер углов треугольника ( \triangle CDK ), начнем с анализа условий задачи.

Даны точки ( C ) и ( D ), которые делят окружность на две дуги, градусные меры которых пропорциональны числам 5 и 7. Это значит, что если обозначить градусную меру дуги ( CD ) через ( 5x ), то градусная мера дуги ( DC ) будет ( 7x ). Поскольку полный круг составляет 360 градусов, мы можем записать уравнение:

[ 5x + 7x = 360 ]

Отсюда находим:

[ 12x = 360 ]

[ x = 30 ]

Теперь мы можем определить градусные меры дуг:

• Дуга ( CD ) равна ( 5x = 5 \times 30 = 150 ) градусов.
• Дуга ( DC ) равна ( 7x = 7 \times 30 = 210 ) градусов.

Теперь рассмотрим треугольник ( \triangle CDK ). Поскольку ( DK ) — это диаметр окружности, то угол ( \angle CDK ) является вписанным углом, опирающимся на дугу ( CK ), а значит, равен половине градусной меры дуги ( CK ).

Дуга ( CK ) равна сумме дуги ( CD ) и дуги ( DK ) (которая является диаметром, следовательно, равна ( 180 ) градусов):

• Дуга ( CK = 150 + 180 = 330 ) градусов.

Теперь вычисляем угол ( \angle CDK ):

[ \angle CDK = \frac{1}{2} \cdot 330 = 165 \text{ градусов} ]

Угол ( \angle DCK ) является вписанным углом, который опирается на дугу ( DC ):

[ \angle DCK = \frac{1}{2} \cdot 210 = 105 \text{ градусов} ]

Остался угол ( \angle CKD ), который мы можем найти, используя сумму углов треугольника:

[ \angle CKD = 180 - \angle CDK - \angle DCK = 180 - 165 - 105 = 10 \text{ градусов} ]

Таким образом, градусные меры углов треугольника ( \triangle CDK ) равны:

• ( \angle CDK = 165 ) градусов,
• ( \angle DCK = 105 ) градусов,
• ( \angle CKD = 10 ) градусов.

Для начала определим градусные меры дуг, образованных точками C и D. Пусть x - градусная мера дуги, соответствующей точке C, тогда градусная мера дуги, соответствующей точке D, будет равна 180 - x.

Так как градусные меры дуг пропорциональны числам 5 и 7, то можно записать уравнение:

5x = 7(180 - x)

Решив это уравнение, найдем x = 126 градусов - градусная мера дуги, соответствующей точке C, и 54 градуса - градусная мера дуги, соответствующей точке D.

Теперь в треугольнике CDK угол CDK будет равен сумме градусных мер дуг, соответствующих точкам C и D, то есть 126 + 54 = 180 градусов.

Итак, градусная мера угла CDK равна 180 градусов.