Точки E и F лежат соответственно на сторонах AD и BC параллелограмма ABCD; AE=ED, BF:FC=4:3. Выразите...

Для начала обозначим векторы AB, AD и EF как a, b и c соответственно. Также обозначим точку E как точку деления отрезка AD на отношение 1:1, то есть точка, в которой AE=ED=d/2, где d - длина отрезка AD.

Так как точки E и F лежат на сторонах параллелограмма ABCD, то вектор EF будет равен сумме векторов ED и DF. Поскольку AE=ED, вектор ED будет равен вектору AD, умноженному на 1/2. То есть вектор ED будет равен 1/2 * b = b/2.

Теперь найдем вектор DF. Поскольку BF:FC=4:3, вектор DF будет равен вектору BC, умноженному на 4/7. То есть вектор DF будет равен 4/7 (a + b) = 4/7 a + 4/7 * b.

Итак, вектор EF будет равен сумме векторов ED и DF: c = b/2 + 4/7 a + 4/7 b.

Таким образом, вектор EF можно выразить через векторы m=AB и n=AD следующим образом: c = n/2 + 4/7 m + 4/7 n.

В данном параллелограмме ABCD точки E и F лежат на сторонах AD и BC соответственно. Нам необходимо выразить вектор EF через векторы ( \mathbf{m} = \overrightarrow{AB} ) и ( \mathbf{n} = \overrightarrow{AD} ).

1. Координаты точки E:

   Так как ( AE = ED ), точка E является серединой отрезка AD. Это означает, что вектор ( \overrightarrow{AE} ) равен половине вектора ( \overrightarrow{AD} ), то есть: [ \overrightarrow{AE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2} \mathbf{n} ]

2. Координаты точки F:

   Условие ( BF:FC = 4:3 ) говорит о том, что точка F делит отрезок BC в отношении 4:3. Это значит, что: [ \overrightarrow{BF} = \frac{4}{4+3} \overrightarrow{BC} = \frac{4}{7} \overrightarrow{BC} ]

   Поскольку BC в параллелограмме равно AD (векторы противоположных сторон равны), то: [ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} = \mathbf{n} + \mathbf{m} ]

   Тогда: [ \overrightarrow{BF} = \frac{4}{7} (\mathbf{n} + \mathbf{m}) ]

3. Вычисление вектора EF:

   Теперь мы можем выразить вектор ( \overrightarrow{EF} ) как разность векторов ( \overrightarrow{AF} ) и ( \overrightarrow{AE} ): [ \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AE} ]

   Сначала выразим вектор ( \overrightarrow{AF} ). Поскольку ( \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} ), то: [ \overrightarrow{AF} = \mathbf{m} + \frac{4}{7} (\mathbf{n} + \mathbf{m}) = \mathbf{m} + \frac{4}{7} \mathbf{n} + \frac{4}{7} \mathbf{m} = \left(1 + \frac{4}{7}\right) \mathbf{m} + \frac{4}{7} \mathbf{n} ]

   Упростим: [ \overrightarrow{AF} = \frac{11}{7} \mathbf{m} + \frac{4}{7} \mathbf{n} ]

   Теперь подставляем в выражение для ( \overrightarrow{EF} ): [ \overrightarrow{EF} = \left(\frac{11}{7} \mathbf{m} + \frac{4}{7} \mathbf{n}\right) - \frac{1}{2} \mathbf{n} ]

   Приведем к общему знаменателю: [ \overrightarrow{EF} = \frac{11}{7} \mathbf{m} + \left(\frac{4}{7} \mathbf{n} - \frac{7}{14} \mathbf{n}\right) ]

   Упростим: [ \overrightarrow{EF} = \frac{11}{7} \mathbf{m} + \left(\frac{8}{14} \mathbf{n} - \frac{7}{14} \mathbf{n}\right) = \frac{11}{7} \mathbf{m} + \frac{1}{14} \mathbf{n} ]

Таким образом, вектор ( \overrightarrow{EF} ) выражается через векторы ( \mathbf{m} ) и ( \mathbf{n} ) следующим образом: [ \overrightarrow{EF} = \frac{11}{7} \mathbf{m} + \frac{1}{14} \mathbf{n} ]