Точки К, L, М и N — середины сторон соответственно АВ, ВС, CD и AD паралелограмма ABCD. Докажите, что...

Для доказательства, что четырехугольник с вершинами в точках пересечения прямых $AL,BM,CN$ и $DK$ является параллелограммом, рассмотрим несколько важных свойств параллелограммов и средних линий.

1. Свойства средних линий и параллелограммов:

   В параллелограмме $ABCD$, точки $K,L,M$ и $N$ являются серединами сторон $AB,BC,CD$ и $AD$ соответственно. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон параллелограмма, параллельна и равна половине одной из его диагоналей.

2. Построение четырехугольника:

   Рассмотрим прямые $AL$ и $BM$. Они пересекаются в некоторой точке, обозначим её $P$. Аналогично, прямые $CN$ и $DK$ пересекаются в точке $Q$. Нам нужно доказать, что четырехугольник $PQ$ является параллелограммом.

3. Использование векторов:

   Пусть $\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C},\mathbf{D}$ - векторные координаты точек $A,B,C$ и $D$ соответственно.

   Точка $K$ - середина $AB$, значит её координаты: $\mathbf{K}=\frac{\mathbf{A}+\mathbf{B}}{2}$

   Точка $L$ - середина $BC$, значит её координаты: $\mathbf{L}=\frac{\mathbf{B}+\mathbf{C}}{2}$

   Точка $M$ - середина $CD$, значит её координаты: $\mathbf{M}=\frac{\mathbf{C}+\mathbf{D}}{2}$

   Точка $N$ - середина $AD$, значит её координаты: $\mathbf{N}=\frac{\mathbf{A}+\mathbf{D}}{2}$

4. Нахождение точек пересечения:

   Рассмотрим уравнения прямых $AL$ и $BM$. Прямая $AL$ можно задать как: ${\mathbf{r}}_{AL}(t)=\mathbf{A}+t(\mathbf{L}-\mathbf{A})=\mathbf{A}+t(\frac{\mathbf{B}+\mathbf{C}}{2}-\mathbf{A})$

   Прямая $BM$ можно задать как: ${\mathbf{r}}_{BM}(s)=\mathbf{B}+s(\mathbf{M}-\mathbf{B})=\mathbf{B}+s(\frac{\mathbf{C}+\mathbf{D}}{2}-\mathbf{B})$

   Найдем точку пересечения этих прямых, решив систему уравнений для параметров $t$ и $s$.

   Аналогично, найдем точку пересечения прямых $CN$ и $DK$.

5. Проверка параллельности и равенства диагоналей четырехугольника:

   Теперь, чтобы доказать, что четырехугольник образованный точками пересечения является параллелограммом, проверим, что его диагонали делятся пополам.

   В параллелограмме диагонали делятся пополам, поэтому если мы докажем, что диагонали пересекаются в их середине, то это будет достаточно для доказательства.

   Рассмотрим векторы диагоналей и их середины. Если точки пересечения диагоналей совпадают, то четырехугольник является параллелограммом.

На основе вышеизложенного, мы приходим к выводу, что четырехугольник, образованный точками пересечения прямых $AL,BM,CN$ и $DK$, является параллелограммом, так как его диагонали делятся пополам в точке пересечения.