Точки K,L,M,N-середины сторон четырёхугольника ABCD.Докажите, что KN=LM

Чтобы доказать, что отрезки ( KN ) и ( LM ) равны, где точки ( K, L, M, N ) являются серединами сторон четырехугольника ( ABCD ), рассмотрим несколько ключевых шагов:

1. Обозначения и расположение точек:

   • Пусть ( K ) — середина отрезка ( AB ).
   • ( L ) — середина отрезка ( BC ).
   • ( M ) — середина отрезка ( CD ).
   • ( N ) — середина отрезка ( DA ).

2. Построение средних линий: Рассмотрим четырехугольник ( KLMN ). Это срединный четырехугольник четырехугольника ( ABCD ). Срединный четырехугольник строится так, что его вершины ( K, L, M, N ) — середины сторон исходного четырехугольника.

3. Свойства срединного четырехугольника: Известно, что срединный четырехугольник любого четырехугольника является параллелограммом. Параллелограмм — это четырехугольник, в котором противоположные стороны попарно параллельны и равны.

4. Докажем, что ( KLMN ) — параллелограмм:

   • Рассмотрим векторы: [ \overrightarrow{K} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2}, \quad \overrightarrow{L} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2}, \quad \overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{2}, \quad \overrightarrow{N} = \frac{\overrightarrow{D} + \overrightarrow{A}}{2}. ]

   • Векторы ( \overrightarrow{KN} ) и ( \overrightarrow{LM} ) можно выразить так: [ \overrightarrow{KN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{K} = \left(\frac{\overrightarrow{D} + \overrightarrow{A}}{2} - \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2}\right) = \frac{\overrightarrow{D} - \overrightarrow{B}}{2}, ] [ \overrightarrow{LM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{L} = \left(\frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{2} - \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2}\right) = \frac{\overrightarrow{D} - \overrightarrow{B}}{2}. ]

   • Таким образом, ( \overrightarrow{KN} = \overrightarrow{LM} ), что означает, что векторы равны по модулю и направлению, и, следовательно, отрезки ( KN ) и ( LM ) равны.

5. Заключение: Поскольку ( KLMN ) является параллелограммом, его противоположные стороны равны и параллельны. Следовательно, отрезки ( KN ) и ( LM ) равны. Таким образом, мы доказали, что ( KN = LM ).

Этот вывод основан на свойствах срединного четырехугольника и параллелограмма, что позволяет нам утверждать равенство данных отрезков.

Чтобы доказать, что KN=LM, нам нужно воспользоваться свойством серединных отрезков в треугольнике.

Поскольку точки K, L, M, N - середины сторон четырехугольника ABCD, то отрезки KN, LM являются серединными отрезками в треугольниках AKM и BKN соответственно.

Из свойства серединного отрезка следует, что KN=1/2AB и LM=1/2CD. Таким образом, KN=LM.

Таким образом, мы доказали, что KN=LM, используя свойство серединных отрезков в треугольнике.