Точки M, P и K делят окружность с центром H и радиусом 2 на три равные дуги. Найдите длину вектора (HM+HP+HK)

Рассмотрим окружность с центром в точке ( H ) и радиусом 2. Точки ( M ), ( P ) и ( K ) делят окружность на три равные дуги. Это означает, что центральные углы, соответствующие этим дугам, равны. Поскольку полный круг составляет ( 360^\circ ) или ( 2\pi ) радиан, каждый из углов будет равен:

[ \frac{2\pi}{3} ]

Точки ( M ), ( P ) и ( K ) равномерно расположены по окружности, образуя треугольник, вписанный в эту окружность. Этот треугольник является равносторонним, поскольку все его стороны равны.

Теперь перейдём к вычислению вектора ( \overrightarrow{HM} + \overrightarrow{HP} + \overrightarrow{HK} ).

1. Вектор ( \overrightarrow{HM} ) имеет длину, равную радиусу окружности, то есть 2.
2. Аналогично, векторы ( \overrightarrow{HP} ) и ( \overrightarrow{HK} ) также имеют длину 2.
3. Поскольку углы между этими векторами равны ( \frac{2\pi}{3} ), мы можем выразить их векторно.

Векторная сумма ( \overrightarrow{HM} + \overrightarrow{HP} + \overrightarrow{HK} ) в данном случае представляет собой сумму векторов, направленных друг относительно друга под углом ( 120^\circ ). Векторная сумма трёх равных векторов, расположенных под углом ( 120^\circ ) друг к другу в пространстве, равна нулю.

Это можно объяснить тем, что при сложении векторов векторы уравновешивают друг друга, образуя замкнутый треугольник векторных сумм. Таким образом, длина полученного вектора равна нулю.

Следовательно, длина вектора ( \overrightarrow{HM} + \overrightarrow{HP} + \overrightarrow{HK} ) равна:

[ 0 ]

Длина вектора (HM+HP+HK) равна 6.

Для решения данной задачи нам необходимо определить расположение точек M, P и K на окружности. Поскольку они делят окружность на три равные дуги, то точки M, P и K являются вершинами правильного треугольника, вписанного в окружность. Таким образом, треугольник MPK является равносторонним.

Так как радиус окружности равен 2, то длина стороны треугольника MPK равна 2. Теперь нам необходимо найти длину вектора (HM+HP+HK).

Так как треугольник MPK равносторонний, то точки M, P и K делят радиусы окружности, исходящие из центра H, на три равные части. Следовательно, длины векторов HM, HP и HK одинаковы и составляют 2/3 от радиуса окружности, то есть 2/3 * 2 = 4/3.

Таким образом, длина вектора (HM+HP+HK) равна 4/3 + 4/3 + 4/3 = 4.

Итак, длина вектора (HM+HP+HK) равна 4.