Точки М,K , N, Р не лежат на одной прямой, и КМ = PN. До­кажите, что KMNP - параллелограмм.

Для доказательства того, что KMNP - параллелограмм, нам необходимо показать, что противоположные стороны параллельны и равны.

Итак, у нас дано, что KM = PN. Также известно, что точки M, K, N, P не лежат на одной прямой.

Рассмотрим треугольники KMN и PNM. У них две стороны равны (KM = PN, MN общая), следовательно, по третьему признаку равенства треугольников, у них равны и соответствующие углы.

Таким образом, углы K и P равны, а значит, отрезки KP и MN параллельны (по свойству параллельности углов).

Теперь рассмотрим треугольники KMP и PKN. У них две стороны равны (KM = PN, KP общая), следовательно, по третьему признаку равенства треугольников, у них равны и соответствующие углы.

Таким образом, углы M и N равны, а значит, отрезки MN и KP параллельны (по свойству параллельности углов).

Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны параллельны, а значит, KMNP - параллелограмм.

Чтобы доказать, что четырехугольник (KMNP) является параллелограммом, нам необходимо показать, что противоположные стороны этого четырехугольника равны и/или параллельны.

Дано, что (KM = PN). Для доказательства того, что четырехугольник является параллелограммом, можно воспользоваться следующим утверждением: если в четырехугольнике две пары противоположных сторон равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Рассмотрим шаги доказательства:

1. Условие равенства сторон: Нам уже известно, что (KM = PN).

2. Необходимость равенства другой пары противоположных сторон: Для завершения доказательства, нам нужно показать, что (KN = MP).

3. Построение: Поскольку точки (M, K, N, P) не лежат на одной прямой, мы можем рассмотреть диагонали (KN) и (MP). Эти диагонали пересекаются в некоторой точке (O).

4. Рассмотрение треугольников: Рассмотрим треугольники (KON) и (MOP).

5. Равенство треугольников (по третьему признаку):

   • У нас есть (KO = MO) и (NO = PO) по построению, так как они являются половинами диагоналей (KN) и (MP) соответственно.
   • Также, по условию, (KN = MP).

   На основании этих равенств, треугольники (KON) и (MOP) равны по третьему признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними).

6. Следствие равенства треугольников: Из равенства треугольников следует, что (KN = MP).

7. Заключение: Теперь мы имеем две пары противоположных равных сторон: (KM = PN) и (KN = MP).

Поскольку в четырехугольнике (KMNP) обе пары противоположных сторон равны, то он является параллелограммом по определению.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник (KMNP) является параллелограммом.