Точки р и е лежат соответственно на сторонах вс и дс параллелограмма авсд так что вр рс и де ес 1 2...

Рассмотрим параллелограмм ( ABCD ), где точки ( P ) и ( E ) лежат соответственно на сторонах ( BC ) и ( DC ) так, что ( BP:PC = 1:2 ) и ( DE:EC = 1:2 ). Нам нужно выразить векторы ( \overrightarrow{AP} ), ( \overrightarrow{AE} ), ( \overrightarrow{DP} ), ( \overrightarrow{BE} ) и ( \overrightarrow{RE} ) через векторы ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{AD} ).

Начнем с выражения координат точек ( P ) и ( E ) через параметры ( t ) и ( s ):

1. Точка ( P ): Поскольку ( BP:PC = 1:2 ), точка ( P ) делит отрезок ( BC ) в отношении 1:2. Векторное уравнение для точки деления отрезка в отношении ( m:n ) имеет вид: [ \overrightarrow{OP} = \frac{n \cdot \overrightarrow{OB} + m \cdot \overrightarrow{OC}}{m+n} ] Подставляя ( m = 1 ), ( n = 2 ), получаем: [ \overrightarrow{OP} = \frac{2 \cdot \overrightarrow{OB} + 1 \cdot \overrightarrow{OC}}{3} ] Для параллелограмма, ( \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} ). Следовательно: [ \overrightarrow{OP} = \frac{2 \overrightarrow{OB} + (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD})}{3} = \frac{3 \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}}{3} = \overrightarrow{OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OD} ]

2. Точка ( E ): Аналогично, для точки ( E ) на отрезке ( DC ) с отношением ( DE:EC = 1:2 ), имеем: [ \overrightarrow{OE} = \frac{2 \cdot \overrightarrow{OD} + 1 \cdot \overrightarrow{OC}}{3} ] Подставляя ( \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} ), получаем: [ \overrightarrow{OE} = \frac{2 \overrightarrow{OD} + (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD})}{3} = \frac{\overrightarrow{OB} + 3 \overrightarrow{OD}}{3} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} ]

Теперь выразим нужные векторы:

• (\overrightarrow{AP}): [ \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA} = \left(\overrightarrow{OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OD}\right) - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} ]

• (\overrightarrow{AE}): [ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{OE} - \overrightarrow{OA} = \left(\frac{1}{3}\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}\right) - \overrightarrow{OA} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} ]

• (\overrightarrow{DP}): [ \overrightarrow{DP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OB} - \frac{2}{3}\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} ]

• (\overrightarrow{BE}): [ \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{OE} - \overrightarrow{OB} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OB} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} ]

• (\overrightarrow{RE}) (необходимая комбинация отсутствует в условии, но явно это (\overrightarrow{PE} )): [ \overrightarrow{PE} = \overrightarrow{OE} - \overrightarrow{OP} = \left(\frac{1}{3}\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}\right) - \left(\overrightarrow{OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OD}\right) = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} ]

Таким образом, все векторы выражены через (\overrightarrow{AB}) и (\overrightarrow{AD}) в рамках системы координат с началом в точке ( A ).

Векторы AR, AE, DR, VE, RE можно выразить через векторы MA и NA следующим образом: AR = MA + 2NA AE = MA + NA DR = MA - NA VE = MA + 2NA RE = MA - NA

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами параллелограмма.

Из условия задачи известно, что точки P и E лежат на сторонах ВС и DS параллелограмма ABCD так, что вектор RP = RS и вектор DE = ES в отношении 1:2.

Так как RS = RP, то вектор RP можно заменить на вектор RS, аналогично с векторами DE и ES.

Получаем, что вектор AR = AS + SR = AS + RP, а вектор AE = AS + SE = AS + 2ES.

Теперь выразим векторы AS и ES через векторы MA и NA.

Так как AS = AM + MS и ES = EN + NS, то вектор AR = AM + MS + RP и вектор AE = AM + 2EN + 2NS.

Таким образом, вектор AR = AM + MS + RP = AM + MS + SR, а вектор AE = AM + 2EN + 2NS = AM + 2EN + 2NS.

Итак, векторы AR и AE можно выразить через векторы MA и NA следующим образом:

AR = AM + MS + SR = AM + MA + NA, AE = AM + 2EN + 2NS = AM + 2NA + 2NA.

Таким образом, векторы AR и AE выражены через векторы MA и NA.