Точки Р, К, L, M – середины сторон ромба АВСD. Докажите, что четырехугольник РКLM – прямоугольник.

Чтобы доказать, что четырехугольник PKLM, образованный серединами сторон ромба ABCD, является прямоугольником, воспользуемся свойствами ромба и средних линий треугольников.

1. Свойства ромба:

   • Все стороны ромба равны: ( AB = BC = CD = DA ).
   • Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов. Они также делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

2. Свойства средних линий:

   • Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна половине ее длины.

3. Рассмотрим треугольники и средние линии:

   • Пусть точки ( P, K, L, M ) — середины сторон ( AB, BC, CD, DA ) соответственно.
   • Рассмотрим треугольник ( \triangle ABD ). Точки ( P ) и ( M ) — середины сторон ( AB ) и ( DA ) соответственно. Следовательно, ( PM ) — средняя линия треугольника ( \triangle ABD ), и ( PM \parallel BD ) и ( PM = \frac{1}{2}BD ).
   • Аналогично, в треугольнике ( \triangle BCD ), точки ( K ) и ( L ) — середины сторон ( BC ) и ( CD ). Следовательно, ( KL ) — средняя линия треугольника ( \triangle BCD ) и ( KL \parallel BD ) и ( KL = \frac{1}{2}BD ).

4. Параллельность прямых:

   • Из того, что ( PM \parallel BD ) и ( KL \parallel BD ), следует, что ( PM \parallel KL ).

5. Аналогичные рассуждения:

   • В треугольнике ( \triangle ABC ), точки ( P ) и ( K ) — середины сторон ( AB ) и ( BC ). Следовательно, ( PK ) — средняя линия треугольника ( \triangle ABC ) и ( PK \parallel AC ) и ( PK = \frac{1}{2}AC ).
   • В треугольнике ( \triangle CDA ), точки ( L ) и ( M ) — середины сторон ( CD ) и ( DA ). Следовательно, ( LM ) — средняя линия треугольника ( \triangle CDA ) и ( LM \parallel AC ) и ( LM = \frac{1}{2}AC ).

6. Параллельность и равенство другой пары сторон:

   • Из того, что ( PK \parallel AC ) и ( LM \parallel AC ), следует, что ( PK \parallel LM ).

7. Вывод:

   • Мы получили, что противоположные стороны четырехугольника ( PKLM ) попарно параллельны и равны: ( PM = KL ) и ( PK = LM ). Это значит, что ( PKLM ) — параллелограмм.
   • Поскольку диагонали ромба пересекаются под прямым углом, средние линии, параллельные этим диагоналям, также пересекаются под прямым углом.

Таким образом, четырехугольник ( PKLM ) является не просто параллелограммом, а прямоугольником, так как его соседние стороны пересекаются под прямым углом.

Для доказательства того, что четырехугольник РКLM является прямоугольником, рассмотрим свойства серединных отрезков в ромбе.

1. Поскольку точки Р, К, L, M являются серединами сторон ромба АВСD, то отрезки РК, КЛ, ЛМ и МР равны половине соответствующих сторон ромба.

2. В ромбе все стороны равны между собой, поэтому отрезки РК, КЛ, ЛМ и МР также равны между собой.

3. Так как в прямоугольнике противоположные стороны равны и прямые углы, то достаточно доказать, что противоположные стороны четырехугольника РКLM равны и что углы при вершине К и Л прямые.

4. Из свойств серединных отрезков следует, что РК = МЛ и КЛ = РМ.

5. Также, так как РК = КЛ = ЛМ = МР, то у четырехугольника РКЛМ все стороны равны.

6. Углы при вершинах К и Л являются прямыми, так как диагонали ромба АВСD пересекаются в прямом угле.

Таким образом, четырехугольник РКLM является прямоугольником.