Треугольник ABC задан координатами своих вершин A(1;4) , B(-3;2) , С(-1;-3). а) Найдите косинус острого...

а) Косинус острого угла между медианой CM и стороной AC равен 1/2.

б) СММА - МСАС = 28.5.

а) Для начала найдем координаты точки М - середины стороны АВ треугольника ABC. Для этого найдем среднее арифметическое координат вершин A и B: Мx = (1 + (-3)) / 2 = -1 My = (4 + 2) / 2 = 3 Таким образом, координаты точки М равны (-1;3).

Теперь найдем координаты векторов СМ и АС: Вектор СМ: (-1 - 1; -3 - 4) = (-2; -7) Вектор АС: (1 - (-1); 4 - (-3)) = (2; 7)

Найдем их скалярное произведение: (-2 2) + (-7 7) = -4 - 49 = -53

Теперь найдем длины векторов СМ и АС: |СМ| = √((-2)^2 + (-7)^2) = √(4 + 49) = √53 |АС| = √(2^2 + 7^2) = √(4 + 49) = √53

Теперь найдем косинус угла между векторами: cos(α) = (-53) / (√53 * √53) = -53 / 53 = -1

Ответ: косинус острого угла между медианой СМ и стороной АС равен -1.

б) Теперь вычислим выражение СММА - МСАС, где * обозначает скалярное произведение векторов.

Сначала найдем координаты вектора МА: (1 - (-1); 4 - 3) = (2; 1)

Теперь вычислим выражение: СММА = (-2 2) + (-7 * 1) = -4 - 7 = -11

Аналогично найдем координаты вектора АС: (1 - (-1); 4 - (-3)) = (2; 7)

Теперь вычислим выражение: МСАС = (-2 2) + (-7 * 7) = -4 - 49 = -53

Теперь подставим значения: СММА - МСАС = -11 - (-53) = -11 + 53 = 42

Ответ: СММА - МСАС = 42.

Часть а) Найдите косинус острого угла между медианой СМ и стороной АС.

Для начала найдем координаты точки M, которая является серединой стороны AB. Используем формулу для нахождения координат середины отрезка: [ M(x, y) = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) ] Подставим координаты точек A и B: [ M\left(\frac{1 - 3}{2}, \frac{4 + 2}{2}\right) = M\left(-1, 3\right) ]

Теперь найдем векторы CM и AC: [ \vec{CM} = (x_M - x_C, y_M - y_C) = (-1 + 1, 3 + 3) = (0, 6) ] [ \vec{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (-1 - 1, -3 - 4) = (-2, -7) ]

Косинус угла между двумя векторами можно найти по формуле: [ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} ] где ( \vec{u} \cdot \vec{v} ) — скалярное произведение векторов, а ( |\vec{u}| ) и ( |\vec{v}| ) — их модули.

Скалярное произведение векторов CM и AC: [ \vec{CM} \cdot \vec{AC} = 0 \times (-2) + 6 \times (-7) = -42 ]

Модули векторов: [ |\vec{CM}| = \sqrt{0^2 + 6^2} = 6 ] [ |\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-7)^2} = \sqrt{4 + 49} = \sqrt{53} ]

Таким образом, косинус угла: [ \cos \theta = \frac{-42}{6 \sqrt{53}} = -\frac{7}{\sqrt{53}} ] Однако, поскольку нам нужен косинус острого угла, и косинус тупого угла получился отрицательный, то косинус острого угла будет: [ \cos (180^\circ - \theta) = -(-\frac{7}{\sqrt{53}}) = \frac{7}{\sqrt{53}} ]

Часть б) Вычислите СММА - МСАС

Данное выражение можно интерпретировать как вычисление скалярных произведений, однако формулировка вопроса может быть некорректной. Если предположить, что имеются в виду длины отрезков, умноженные друг на друга, то:

[ CM = |\vec{CM}| = 6 ] [ MA = |\vec{MA}| = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (3 - 4)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} ] [ AC = |\vec{AC}| = \sqrt{53} ]

Тогда вычисление: [ CM \times MA - MC \times AC = 6 \times \sqrt{5} - 6 \times \sqrt{53} = 6(\sqrt{5} - \sqrt{53}) ]

Таким образом, задача решена.